数 学 Ⅱ 2 次方程式

数学 Ⅱ
ラジオ
学習メモ
第1章
方程式・式と証明
第 5 回〜第 8 回
第2節
2 次方程式
第 5 回　複素数（1）　講師：渡 部 儀 隆 負の数の平方根
これまで，有理数，実数の範囲での数を考えてきたが，ここで
は，さらに数の範囲を広げて考えてみよう。
実数
虚数単位
複素数
実数
方程式 2x ＝ 3 は，有理数の範囲で解 x ＝
3
を
2
もつ。方程式 x2 ＝ 2 は，実数の範囲まで広げると，
x ＝± 2 という解をもつ。実数は 2 乗すれば正の
数または 0 になるので，方程式 x2 ＝− 3 は，実数
範囲でも解をもたない。そこで……，
実数
2
有理数
3
2
3
2 - 2
-3
虚数単位
2 乗すると− 1 になる新しい数を考え，これを記号 i で表す。i は，
i2 = -1
きょ すう たん い
と定義し，実数と同じ計算法則にしたがうとする。iを虚数単位という。虚
数単位をも用いると，〈例1〉のように負の数の平方根を考えることができ
る。
〈例１〉
3 i と− 3 i の 2 乗をそれぞれ計算すると
( 3 i)2 ＝ ( 3)2 i2=3 × ( − 1) ＝− 3
( − 3 i)2 ＝ ( − 3)2 i2 ＝ 3 × ( − 1) ＝− 3
したがって，　− 3 の平方根は　3 i と− 3 i である。
すなわち，
x2 ＝− 3 の解は　x ＝ 3 i，− 3 i　である。
一般に，a＞0のとき，−a の平方根は， a iと，− a iである。すなわち，x2＝−a
の解は，x＝± a i。また， −a は，−aの平方根のうち a iと表す。
〈例２〉
(1)　− 2 ＝ 2 i
(2)　− − 4 ＝− 4 i ＝− 2 i
〈例３〉
(1)　x2 ＝− 7 の解は　x ＝± 7 i
(2)　x2 ＋ 25 ＝ 0 の解は　x2 ＝− 25 より
x ＝± 25 i
すなわち　x ＝± 5 i
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第 1 章　方程式・式と証明
第 2 節　2 次方程式
第 5 回　複素数（1）
負の数の平方根
複素数
負の数の平方根を利用して，方程式 x2 − 2x ＋ 5 ＝ 0 の解を求めよう。
x2 − 2x ＋ 5 ＝ 0
(x − 1)2 − 1 ＋ 5 ＝ 0
(x − 1)2 ＝− 4
x − 1 ＝± 4 i したがって，　x＝1±2 i
この 1 ＋ 2 i や 1 − 2i のように，実数 a，b と虚数単位を用いて
a＋bi
ふく そ すう
と表される数を複素数という。このとき，aを
じつ ぶ
きょ ぶ
複素数の実部，bを虚部という。
複素数a＋b iで，b＝0のときa＋0 i＝aとな
きょ すう
り，実数を表す。b≠0である複素数を虚 数 と
いう。
複素数
実数
虚数
0
π　2
1
3 2 i　i
3 − 5i
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第 6 回　複素数（2）　第 1 章　方程式・式と証明
第 2 節　2 次方程式
講師：渡 部 儀 隆 複素数を用いた計算
複素数の性質と計算について学ぶ。
複素数の相等
複素数の計算
共役な複素数
複素数の相等
2 つの複素数が等しいのは，その実部，虚部ともに等しいときにかぎる。
つまり，
複素数の相等
a，
b，
c，d が実数のとき
a ＋ bi ＝ c ＋ di　(A
a ＝ c かつ b ＝ d
B：A ならば B，B ならば A は，A と B が同じ内容であることを表す。)
〈例 4〉
次の等式を満たす実数 x，y を求めてみよう。
(3x − 1) ＋ (2y ＋ 1)i ＝ 5 − 7i
左辺と右辺が等しいから
{
3x − 1 ＝ 5　2y ＋ 1 ＝− 7
したがって
x ＝ 2，y ＝− 4
《問３》
等式 (x ＋ 2) ＋ (y − 1)i ＝ 0 を満たす実数 x，y を求めなさい。
＊実部も虚部も 0 と考える
左辺と右辺が等しいから
{
x ＋ 2 ＝ 0
y − 1 ＝ 0
したがって　x ＝− 2,y ＝ 1
複素数の計算
複素数の計算では，虚数単位 i はふつうの文字と同様に扱い，i2 は− 1 に
おきかえればよい。
〈例５〉
(1)　3i − 5i ＝− 2i
(2)　4i × 3i=12i2 ＝ 12 × ( − 1) ＝− 12
(3)　(2 ＋ 3i) ＋ (1 − 5i) ＝ (2 ＋ 1) ＋ (3i − 5i) ＝ 3 − 2i
(4)　(2 ＋ 3i)(1 − 5i) ＝ 2 − 10i ＋ 3i − 15i2
＝ 2 − 10i ＋ 3i − 15 × ( − 1)
＝ 17 − 7i
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第 1 章　方程式・式と証明
第 2 節　2 次方程式
第 6 回　複素数（2）
複素数を用いた計算
共役な複素数
きょうやく
ふく そ すう
2 つの複素数 a ＋ bi と a − bi を，互いに共役な複素数という。
〈例６〉
(1)　3 ＋ 2i と共役な複素数は　3 − 2i
(2)　3i と共役な複素数は　− 3i
互いに共役な複素数 a ＋ bi と a − bi の和と積は，つねに実数となる。
(a ＋ bi) ＋ (a − bi) ＝ (a ＋ a) ＋ (b − b)i ＝ 2a
(a ＋ bi)(a − bi) ＝ a2 − (bi)2 ＝ a2 ＋ b2
〈例７〉
(3 ＋ i) ÷ (1 − i) を計算してみよう。
(3 ＋ i) ÷ (1 − i) ＝
3＋i
1−i
分母と共役な複素数 1＋ i を分母と分子にかけると
(3 ＋ i)(1 ＋ i) 3 ＋ 3i ＋ i ＋ i2
＝
となり
(1 − i)(1 ＋ i)
12 − i2
共役な複素数の性質を用い，i2 を -1 におきかえ，
2 ＋ 4i
2
＝
2( 1 ＋ 2i)
2
＝
＝ 1 ＋ 2i
複素数の加減乗除の結果は，つねに複素数になり，a ＋ bi の形に表すこ
とができる。
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