第三回 (10.24) (複素数)

基礎電気回路
(T3049)
第３回目
情報工学科
西森 健太郎
http://www.gis.ie.niigata-u.ac.jp/mlab/class/2011/bct.html
1
全体の予定
回/週
内容
1
抵抗回路
2
回/週
内容
9
回路方程式，
回路に関する諸定理(1)
キルヒホッフの法則
10
回路方程式，
回路に関する諸定理(2)
3
複素数
11
演習問題 (8-10回分)
4
回路素子と正弦波
12
２端子対網と
その基本的表現(1)
5
交流回路と計算的記号法
13
２端子対網と
その基本的表現(2)
6
直並列回路
14
これまでの復習
7
演習問題 (1-6回分)
15
期末試験
8
RLC直列共振回路
RLC並列共振回路
2
複素数・複素ベクトルの導入
なぜ複素数で回路解析を行うか？
 直流回路 オームの法則
 交流回路 電流・電圧
四則演算
正弦波（三角関数）
微分積分
L・C
ｉ
⇒複素数・ベクトルの導入で簡便に表現できる
3
複素数・複素ベクトル

正弦波（三角関数）の表現⇒一定の速度で
角度が変化

等速円運動するベクトル
ベクトルを複素数で表す⇒
実数成分： 有効成分、同相
虚数成分： 無効成分、直交（π/2進み、遅れ）

虚軸ｊ
t
ωt
実軸
e = sin ωt
4
複素数
・
b
Z=(a,b)
θ
a
5
複素数ベクトルの指数関数表現

オイラーの公式・・・指数関数と三角関数の関係
e は自然対数の底＝2.718・・・
• オイラーの公式の変形
•
小川洋子著 「博士の愛した数式」
のとき
e-ｊπ = -1
6
複素数・複素ベクトル表現
虚軸ｊ
jb ・
|Z|
複素平面
（ｶﾞｳｽ平面）
・
Z
θ
a 実軸
直交座標表示
極座標表示
指数関数表示
7
共役複素数と複素数の絶対値
ｊ
jb
-jb
・
|Z|
・
Z
θ
θa
－
・
Z
複素数の絶対値は、その複素数と共役複素数の積のルート
8
複素数の加減（和・差）
j
j(b+d)
jb
・
Z1
・
Z2
jd
a
c
a+c
9
複素数の乗（積）
j
j(bc+ad)
jb
・ ・
Z1×Z2
・
Z1
jd
ac-bd a
・
Z2
c
j
・
・
Z1× Z2
・ ・
・
|Z1|・|Z2|
Z1
・
|Z1|
・
θ1+θ2 θ1
Z2
・ θ2
|Z2|
複素数の積：絶対値はその積
位相角はその和
10
複素数の除算
・
Z1
j
jb
jd
・
Z2
・ ・
j(bc-ad)
Z1÷ Z2
2
2
c +d
a c ac+bd
c2+d2
・
j
Z1
・ ・
|Z1| Z2
・
・
|Z2| |Z
|
1
・ ・ ・
|Z |
θ 2 Z1÷ Z2
θ1
2
θ1-θ2
複素数の商：絶対値はその商
位相角はその差
11
複素数のｎ乗
12
複素数（複素ベクトル）の回転
・
jZ
j
jb
ja
-b
・
jZ
・
Z
a
j
jb
・
Z
a
・
-Z
回転ベクトルｊをかけるとπ/2回転
（-jをかける=jで割る=‐π/2回転）
・
-jZ
ejπ/2=cos(π/2)+jsin(π/2)=j
13
[例題]複素数（複素ベクトル）の計算
・
Z1=3ejπ/2=3×（cos(π/2)+jsin(π/2)）=3j
14
[例題]複素数（複素ベクトル）の計算
[例題3]次の値を複素平面上にベクトルで図示せよ
(1)Z1=20∠-π/6
(2)Z2=-10+j10
(3)Z3=20ejπ/3
・
Z2
-20 ‐10
[例題4]次の複素数の絶対値と
位相角を求めよ
ｊ
20
・
Z3
10
0
10
-10
-20
(1)Z4=1+j
3
(2)Z5=-√-j
(1) |Z4|=√2
(2) |Z5|=√=2
4
θ1=tan-1 1=π/4
θ2=tan-1 -1/(-√）=7π/6
3
20
・
Z1
15
以降のスライドは電気回路での表現
（詳細は次回以降の講義でも述べる）
複素表示
• 振幅1、角速度ωの回転運動は、ej（ωt-θ)で表せる
• 一定周波数成分を省略 ej（ωt-θ) → e-jθ
• 大きさ（絶対値）を実効値 I で表すと
正弦波交流電流の複素表示は
• 同様に交流電圧は、電流との位相差φとすると
電圧の瞬時値
に対して、
電圧の複素表示は
17
複素表示
電流、電圧の瞬時値を複素表示で表すと
これらの微分・積分は（例えば電流の場合）、
すなわち、 微分は ×jω
積分は /jω
で計算できる
18
・
抵抗回路に正弦波交流電圧（複素数） E をかける
・
I
交流電圧
交流電流
+
・ e
E
R
複素表示
最大値
実効値
同じ位相・
E
・
I
e i
t
19
・
インダクタンス回路（コイル）に電圧E をかける
・
I
・
E
+
L
交流電流
交流電圧
（瞬時値）
電圧に対して 交流電圧
電流位相遅れ （複素表示）
・
E
e i
最大値
実効値
・
I 電圧に対して
電流位相遅れ
t
20
・
静電容量回路（コンデンサ）に電圧E をかける
・
I 交流電流
・
E
+
交流電圧
（瞬時値）
C
電圧に対して
電流位相進み
・
I
交流電圧
（複素表示）
i
e
最大値
実効値
t
・
E 電圧に対して
電流位相進み
21
複素インピーダンスと電圧降下
時間領域（time domain）
周波数領域（frequency domain）
22