［ 複素数の要点（1） ］ −− 複素数と計算方法 −−

［ 複素数 の要点（１） ］
−− 複素数と計算方法 −−
１．複素数とは、
３．共役複素数
ａ，ｂ が実数を表すとして、
複素数 ＝ ａ ＋ ｊ ｂ
「 実数 」： 普通の数 （例： 1, 0.33, -282.9 など）
「 ｊ 」： 虚数単位と呼び、 ｊ × ｊ ＝−１ である。
上式の、 ａ を実数部
ｂ （または ｊ ｂ ） を虚数部と呼ぶ
◇複素数とは、実数部（通常の数）に加えて、
虚数部を持つ数である。
◇ 複素数の例
1＋ ｊ 0.33, −2.2＋ ｊ 2.2
−ｊ 88.333， ｊ
（実数部が 0 のものを純虚数ともいう）
◇ 虚数部の＋−が反転したものを「共役複素数」と呼ぶ。
例えば、ａ＋ ｊ ｂ の共役複素数は、ａ− ｊ ｂ．
また、ａ− ｊ ｂ の共役複素数は、ａ＋ ｊ ｂ
◇ 複素数と、その共役複素数の積は正の実数になる。
例えば、ａ＋ ｊ ｂ と、その共役の積は、
（ａ＋ ｊ ｂ ）×（ａ− ｊ ｂ ）＝ａ２−（ ｊ ｂ）２
＝ａ２＋ｂ２
◇ 複素数 Ｚ の共役複素数は、Ｚ＊ や Ｚ と表される。
◇複素数 Ｚ と、その共役複素数 Ｚ＊の積の平方根は、
(注１) ｊ の変わりに ｉ を用いることもあるが、
電気系では、ｊ を用いる。
（注２） ｊ ＝√（−１） という定義は
誤りなので 注意
２．複素数の計算（和、差、積）
◇ 和と差は、実数部と虚数部とをそれぞれ別個に
計算する。。
Ｚ1＝ａ1＋ ｊ ｂ1，
複素数の 「 絶対値 」 と呼ばれ、 | Ｚ | と表される。
例えば、Ｚ＝ａ＋ｊ ｂのとき、
| Ｚ | ＝ √（Ｚ･Ｚ＊） ＝ √（ａ２＋ｂ２ ）
４．複素数の商
◇ 商は分母に共役複素数を掛けて、分母を実数にする。
Ｚ２ ＝ａ２＋ ｊ ｂ２ としたとき
（和）
Ｚ1＋Ｚ２ ＝（ａ1＋ａ２）＋ ｊ （ｂ1＋ｂ２）
（差）
Ｚ1−Ｚ２ ＝（ａ1−ａ２）＋ ｊ （ｂ1−ｂ２）
（商） Ｚ1÷Ｚ２ ＝
＝
◇ 積は、実数部、虚数部、それぞれの積を計算する。
ｊ × ｊ ＝−１ を利用する。
＝
（積） Ｚ1×Ｚ２ ＝（ａ1＋ ｊ ｂ1 ）×（ａ２ ＋ ｊ ｂ２ ）
＝
＝（ａ1 ×ａ２）＋（ａ1 × ｊ ｂ２ ）
＋（ ｊ ｂ1 ×ａ２ ）＋（ ｊ ｂ1 × ｊ ｂ２ ）
１
＝−ｊ
ｊ
＝ａ1ａ２−ｂ1ｂ２ ＋ ｊ （ａ１ｂ２＋ｂ1ａ２）
ｊ*＝−ｊ
（ａ1＋ ｊ ｂ1 ）
（ａ２＋ ｊ ｂ２ ）
（ａ1＋ ｊ ｂ1 ）（ａ２− ｊ ｂ２ ）
（ａ２＋ ｊ ｂ２ ） （ａ２− ｊ ｂ２ ）
ａ1ａ２−ｂ1ｂ２ ＋ ｊ （ａ１ｂ２＋ｂ1ａ２）
（ａ２２＋ ｂ２２ ）
ａ1ａ２−ｂ1ｂ２
（ａ２２＋ ｂ２２ ）
（実数部）
＋ｊ
（ａ１ｂ２＋ｂ1ａ２）
（ａ２２＋ ｂ２２ ）
(虚数部）
［ 複素数 の要点（２） ］
−− 直交座標系表示と極座標系表示 −−
７．オイラーの公式
５．直交座標系表示
・ 複素数平面 または ガウス平面
ｘ−ｙ 座標 系の ように、横軸に実数、縦軸に虚数を
とった平面。
・ 複素数平面上の複素数
複素数は、複素数平面上の１点として考えられる。
また、原点とその1点とを結んだベクトルを考えることが
でき、これを 「複素ベクトル」と呼ぶ。
・ 複素指数関数ｅ ｊ θ には、次のオイラーの公式が
成立する。
ｅ ｊ θ＝ cos θ＋ ｊ sin θ
・
ｅ ｊ θ は絶対値（長さ）が１であるので、、θが 0°から
変化するにつれて、半径１の円上を移動する。
虚数
虚
例） Ｚ＝ａ＋ ｊ ｂ
ｊ
虚数
Ｚ＝ａ＋ ｊ ｂ
図１
ｂ
(ａ，ｂ）
ｅ ｊθ
ｅ ｊθ
１
−１
θ sinθ
cosθ
θ
１
実
実数
−ｊ
０
実数
ａ
・ 直交座標系表示
（実数）＋（虚数） という通常の複素数表現は、直交
した実数軸と虚数軸の成分で表されているので、「複
素数の直交座標系表示」 とも言われる。
・ これより、複素指数関数 | Ｚ | ｅ ｊ θ は、次のように
直交座標表示に変換される。
| Ｚ | ｅ ｊ θ ＝ | Ｚ | cos θ＋ ｊ | Ｚ | sin θ
＝
ａ
＋
ｊｂ
８．直交座標系表示 と 極座標系表示の 変換 （まとめ）
◇ 直交 ａ＋ ｊ ｂ → 極 | Ｚ |
６．複素数の極座標系表示 (極形式）
ｅ ｊθ
| Ｚ |＝ √（ａ２＋ｂ２ ）
・ 複素数平面に極座標系を導入する。
・ 極座標系とは、ある点を、原点からの距離 と 角度
で表示するものである。複素ベクトルに対しては、
図２に示した 複素ベクトルの長さ と向き θ の２つで
表すことに対応する。
（複素ベクトルＺの長さは、図１より √（ａ２＋ｂ２ ）
であり、これは、複素数 Ｚの絶対値 | Ｚ | になる。）
・ 極座標系に対応する複素数の表現は、
「複素指数関数」 | Ｚ | ｅ ｊ θである。
θ＝ｔａｎ-1(ｂ／ａ)
☆ただし、電卓などの計算結果では、
θは -90°＜θ< 90°の範囲で得られる
ので 、ａ ＜0 のときは、θに ±180° する
◇極 |Ｚ|
ｅ ｊ θ → 直交 ａ＋ ｊ ｂ
ａ ＝ | Ｚ | cos θ
ｂ ＝ | Ｚ | sin θ
９．極形式を用いた積と商
虚数
図２
Ｚ１＝| Ｚ１ |
Ｚ＝ | Ｚ |
|Ｚ|
ｅ ｊθ
( | Ｚ |，θ）
θ
実数
ｅ ｊ θ1
Ｚ２＝| Ｚ２ |
(積) Ｚ1･Ｚ２ ＝ | Ｚ１ |
ｅ ｊ θ2 としたとき
ｅ ｊ θ1・| Ｚ２ | ｅ ｊ θ2
＝ | Ｚ１ | ・| Ｚ２ |･ｅ ｊ （θ1＋ θ2）
(商) Ｚ1／Ｚ２ ＝ | Ｚ１ |
ｅ ｊ θ1／| Ｚ２ | ｅ ｊ θ2
＝ | Ｚ１ | ／| Ｚ２ |･ｅ ｊ （θ1−θ2）