線形代数

基礎数学ワークブック N o.7 「線形代数入門」
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< 平行六面体の体積 >
２つのベクトル a と b の外積 a × b は，a と b
に垂直なベクトルであり，大きさは a と b の
つくる平行四辺形の面積 S に等しい。又 a×b
の向きは a から b に，向かって回転するとき
に，右ねじの進む方向である。従って b × a
はその反対向きであり
b × a = − (a × b)
が成り立つ。（図 1）
3 つのベクトル a，b，c が図 2 のような位置
関係にあるとき，a，b，c のつくる平行六面
体の体積 V は
V = (a × b) · c
で求められる。
(証明) a × b と c とのなす角を θ とすると，平行六面体の高さ h は
h = |c| cos θ であるから
V = Sh = | a × b | | c | cos θ = (a × b) · c
(注) 3 つのベクトル a，b，c が図 3 のような
位置関係にあるとき，a，b，c のつくる平行六
面体の体積 V は
V = (b × a) · c
となる。
(a × b とcとの内積)
(証明終)