11．関数のテイラー展開

１１．関数のテイラー展開
二つの全く異なる関数が、変数のある範囲で良く似ている、ということはしばしば起
こり得る。もし複雑な関数を、取り扱いの簡単な良く似た関数で置き換えることができれ
ば、数学的な困難さがかなり軽減できるであろう。うまく行けば、厳密には解けない問題
でも、実質的に解けてしまう、という可能性も有り得る。このような「代用品の利用」は、
物理学では頻繁に行われる。
微分、積分などの数学的な操作の上で、最も取り扱いの簡単な初等的な関数は、おそ
らく多項式であろう。多項式の係数を調節することによって、与えられた任意の関数に近
いものを作り出す方法の一つとして、Taylor 展開と呼ばれる方法がある。Taylor 展開の数
学的で厳密な解説については、解析学の専門書に譲り、ここでは直感的で「速分かり」な
説明を試みる。
11. 1
テ イラー 展開の 公式
与えられた任意の関数 f (x ) を、点 x = a の近傍において、多項式で近似的に表すことを考
える。多項式は、次数を上げれば上げるほど「曲がりくねって」くるので、次数のより高
い多項式を用いれば、より精度良く、複雑な変化をする関数を表すことができると期待さ
れるが、これを次のような手順により、段階的に達成する：
＜ste p 1＞
x の値が a にかなり近いとき、関数 f (x ) が「素直な」関数であれば、 f (x ) も f (a ) に近い
であろう。そこで、 f (x ) を f (a ) と、それからの「ずれ」を表す余剰項に分けて、次のよ
うに書き表す：
f ( x) =
f ( a ) + R1 ( x ) " ( x ! a )
(11.1)
余剰項
これは単に、
R1 ( x ) "
f ( x ) ! f (a )
x!a
と言う関数を定義しただけで、何も新たなことが生まれたわけではない。 x ! a をあらかじ
めくくり出して余剰項を定義したのは、 x = a の時に余剰項全体がゼロになるので、その方
が便利が良いと期待したからである。
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＜ste p ２＞
上に定義した関数 R1 ( x ) に、step1 と同じ議論を当てはめる。すなわち R1 ( x ) を、 x = a に
おける値 R1 ( a ) と余剰項に分割する：
R1 ( x ) = R1 ( a ) + R2 ( x ) " ( x ! a )
ただし、 x = a における R1 ( x ) の値は、極限値
R1 ( a ) # lim
x $a
f ( x ) " f (a )
= f !( a )
x"a
で定義されているものと考える。 これより(11.1)は
f ( x ) $ f ( a ) + f #( a ) " ( x ! a ) + R2 ( x ) " ( x ! a ) 2
(11.2)
と書かれる。最後の項を無視すれば、この形はすでに高等学校の数学でお馴染みであろう。
この式も、単に R2 ( x ) という関数を定義しただけであるので、何も近似は行っていない。
＜ste p ３＞
(11.2)式に対して step 2 の議論を繰り返す。すなわち、
R2 ( x ) = R2 ( a ) + R3 ( x ) " ( x ! a )
と置いて(11.2)に代入する。ここで R2 ( a ) はロピタルの定理より、
1
{ f ( x ) # f ( a ) # f !( a ) $ ( x # a )}
( x # a)2
f !( x ) # f !( a )
1
= lim
"
f !!( a )
x %a
2( x # a )
2
R2 ( a ) " lim
x %a
(11.3)
であると解釈して、
f ( x ) $ f ( a ) + f #( a ) " ( x ! a ) +
1
f ##( a ) " ( x ! a ) 2 + R3 ( x ) " ( x ! a ) 3
2
M
同じことをさらにもう一回やれば、
f ( x ) $ f ( a ) + f #( a ) " ( x ! a ) +
1
1
f ##( a ) " ( x ! a ) 2 + f ###( a ) " ( x ! a ) 3 + R4 ( x ) " ( x ! a ) 3
2!
3!
となることは、容易に確かめられるであろう（各自確認せよ！）
。
71
このような手順を次々に n + 1 回行うと、関数 f (x ) は n 次の多項式と余剰項の和の形に書
けることがわかる：
n
1 (k )
f ( a ) " ( x ! a ) k + Rn +1 ( x ) " ( x ! a ) n +1
k = 0 k!
f ( x) = #
(11.4)
一般的に確かめたい諸君は、数学的帰納法を用いて確認すると良い。 x = a における余剰項
の値は
Rn +1 ( a ) =
1
f ( n +1) ( a )
( n + 1)!
である。
このような手続きが際限なく実行できるためには、与えられた関数 f (x ) が x = a の近傍
で、何回でも微分できなければならない。ここでは、これを暗黙のうちに仮定してきた。
この仮定の下で、 Rn+1 ( x ) は連続な関数であるので、 x = a の近傍では、 Rn+1 ( a ) の値と同
程度の大きさである。
従って、高次の微係数 f
( n+1)
( a ) が特に n と共に大きくならなければ、
n を大きくすることにより、剰余項はいくらでも小さくなると期待できる。 n " ! の極限
で剰余項が消えることを期待して、上の操作を無限回繰り返せば、 f (x ) は多項式でなく、
( x ! a ) の冪級数であらわされることになる。これを、
「点 x = a の周りのテイラー展開」と
呼ぶ：
f ( x) =
$
#
n =0
1 (n)
f (a ) " ( x ! a ) n
n!
(11.5)
特に a = 0 の場合、すなわち原点の周りでのテイラー展開を、マクローリン（Mclaugllin）
展開と呼ぶ。
f ( x) =
#
"
n =0
f ( n ) ( 0) n
!x
n!
(11.6)
注意１
実際には x が a からあまり離れると、 ( x ! a ) の高次の冪が大きな値になるため、テイラー
展開は発散級数となることが多い。収束する級数が得られる最大の | x ! a | の値を、収束半
径という。
注意２
テイラー展開の収束が良い場合には、展開を有限で打ち切っても、良い近似でもとの関数
と一致する。実際にテイラー展開が使われるのは、ほとんどこのような場合である。
72
11. 2
例題 １
テ イラー 展開の 応用
関数 f ( x ) = sin x を、 x = ! / 2 の周りで３次までテイラー展開せよ。また、展開
のそれぞれの次数で、結果のグラフを描き、比較せよ。
例題２
x
関数 f ( x ) = e cos x を、４次までマクローリン展開せよ。また、展開のそれぞれ
の次数で、結果のグラフを描き、比較せよ。
73
関数 f ( x ) = 1 + x をマクローリン展開せよ。
例題３
＜解答＞
f ( x ) = (1 + x )1 / 2
f "( x ) =
1
(1 + x ) !1 / 2
2
f ((( x ) =
1 ' 1$
!3 / 2
% ! "(1 + x )
2 & 2#
f ( 3) ( x ) =
1 ' 1 $' 3 $
!5 / 2
% ! "% ! "(1 + x )
2 & 2 #& 2 #
M
1 ( 1 %( 1
1 " 3 " 5L ( 2n ! 3)
% (1
%
f ( n ) ( x ) = & ! 1#& ! 2 # L & ! n + 1#(1 + x )1 / 2!n = ( !1) n !1
(1 + x )1 / 2!n
n
2 ' 2 $' 2
2
$ '2
$
したがって、
f ( n ) (0) = ( "1) n
( 2n " 3)!!
( n ! 1)
2n
#
であるから、
f ( x ) = 1 + " ( !1) n
n =1
、
f ( 0) = 1
( 2n ! 3)!! n
x
2 n n!
******************************************************************************
一般に、任意の非整数の m に対して、
(1 + x ) m = 1 + mx +
m( m ! 1) 2 m( m ! 1)( m ! 2) 3
x +
x +L
2!
3!
(11.7)
は覚えておくと良い（２項定理と良く似ていて覚えやすい）。この他に、今までに覚えたマ
クローリン展開として
(1 ! x ) !1 、e x 、sin x 、cos x があるが、これに(11.7)を加えると、
ほとんどの関数のテイラー展開は、これらの組み合わせで得ることができる。
例：例題２の別解
( * (1 + i ) n n %
e x cos x = Re{e x e ix } = Re e (1+i ) x = Re ')
x $
& n =0 n!
#
!2 3 !4 4
"1+ x +
x +
x
3!
4!
74
例題４
4
15 を小数点以下第４位まで求めよ。
＜解答＞
4
15 = 4 16 ! 1 = 2(1 ! 1 / 16)1 / 4
公式(11.7)を用いると
(1 ! x )1 / 4 = 1 !
1
1 / 4(1 / 4 ! 1) 2 1 / 4(1 / 4 ! 1)(1 / 4 ! 2) 3
x+
x !
x + L
4
2!
3!
であるから、
4
1 3 7 1 1
& 1 1 1 3 1 1
#
15 = 2 ' %1 ) ' ) ( ( ' 2 + ( ( ( ' 3 + L"
4 4 4 6 16
$ 4 16 4 4 2 16
!
問題 11. 1
次の数値を小数点第４位まで求めよ。
（１）
3
15
（２）
5
250
cos 44 o を少数第４位まで求めよ。
問題 11. 2
問題 11. 3*
関数 f ( x ) = cos x を、公式(12.5)を用いて x = ! / 2 の周りで４次までテイラ
ー展開し、次数による段階別に結果のグラフを描け。
問題 11. 4*
f ( x ) = tan !1 x をマクローリン展開することにより、次を証明せよ
"
1 1
1
= 1 ! + ! L + ( !1) n
+ L
4
3 5
2n + 1
75