合成微分の公式の証明

合成微分の公式
1
合成微分の公式の証明
（合成微分の公式）
つまり
{ f (g(x)}0 = f 0 (g(x))g0 (x)
が成り立つ。
k = g(x + h) − g(x) とおき
f (t + k) − f (t)
− f 0 (t) (k , 0)
k
0
(k = 0)
BR






ϕ(k) = 




AR
dy
dy dt
=
dx
dt dx
Y
y = f (t), t = g(x) をそれぞれ微分可能とする。このとき y = f (g(x)) であるから y を x
の関数と見ることができるが，y は x の関数として微分可能であって
とする。そうすると k = 0 のときも k , 0 のときも
1
f (t + k) − f (t) = { f 0 (t) + ϕ(k)}k · · · ○
1 の左辺は
k = g(x + h) − g(x) であるから， ○
LI
が成り立つ。ここで t = g(x),
f (t + k) − f (t) = f (g(x) + g(x + h) − g(x)) − f (g(x)) = f (g(x + h)) − f (g(x))
となる。また右辺は
{ f 0 (t) + ϕ(k)}k = { f 0 (g(x)) + ϕ(k)}{g(x + h) − g(x)}
1 は
である。よって ○
2
f (g(x + h)) − f (g(x)) = { f 0 (g(x)) + ϕ(k)}{g(x + h) − g(x)} · · · ○
CO
となる。この両辺を h で割ると
f (g(x + h)) − f (g(x))
g(x + h) − g(x)
3
= { f 0 (g(x)) + ϕ(k)} ·
··· ○
h
h
である。ところで g(x) は微分可能なので連続である。よって lim{g(x + h) − g(x)} = 0 とな
h→0
り h → 0 のとき k → 0 と分かる。また f (x) は微分可能なので ϕ(k) の定義から lim ϕ(k) =
0
0
ST
3 において h → 0 とすると
f (t) − f (t) = 0 となる。よって ○
lim
h→0
f (g(x + h)) − f (g(x))
g(x + h) − g(x)
= lim{ f 0 (g(x)) + ϕ(k)} ·
h→0
h
h
0
0
= f (g(x))g (x)
となり示された。
k→0