log x/xの極限について

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極限の補足⃝
lim
x→∞
log x
= 0 について, 問題によっては, この事実を使ってもよいというものがある. 今回は, こ
x
の事実についてきちんと証明を試みる.
補題 lim
x→∞
x
=0
ex
証明 x < 2x より,
x
2x
0< x < x =
e
e
( )x
(
)
2
2
→ 0 (x → ∞)
∴ −1 <
<1 .
e
e
したがって, はさみうちの原理により
x
→ 0 (x → ∞).
ex
定理 lim
x→∞
log x
=0
x
証明 補題の事実に対して, ex = t とおくと, x = log t. したがって, x → ∞ ⇐⇒ t → ∞.
log t
x
= x → 0 (t → ∞ すなわち x → ∞).
t
e
追記 補題を用いて, 次の極限を求めることもできる. この極限も「用いてよい」と言われる場合
がある.
定理
lim xex = 0
x→−∞
証明 補題の事実に対して, x = −t とおくと, xex = −te−t = −
t
→ 0. (t → ∞)
et
2015/12/4 改訂