公式集 極限値 lim an n! = 0, (a > 0, n ∈ N), lim xn ex = 0, (n ∈ N

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³
公式集
極限値
an
= 0, (a > 0, n ∈ N),
n→∞ n!
xn
= 0, (n ∈ N)
x→∞ ex
lim
lim
微分の公式
ライプニッツの公式
(n)
(f (x)g(x))
=
n
X
k=0
n!
f (k) (x)g (n−k) (x)
k!(n − k)!
関数の不定積分 (積分定数は省略)．以下 a 6= 0 とする．
Z
Z
dx
1
a+1
a
x
(a 6= −1),
= log |x|
x dx =
a+1
x
Z
Z
ax
ex dx = ex ,
ax dx =
(a > 0, a 6= 1)
log a
Z
log |x|dx = x log |x| − x
Z
Z
1
1
sin(ax + b)dx = − cos(ax + b),
cos(ax + b)dx = sin(ax + b)
a
a
Z
1
tan(ax + b)dx = − log | cos(ax + b)|
a
¯
¯
Z
¯x − a¯
dx
1
¯
=
log ¯¯
x2 − a 2
2a
x + a¯
Z
Z
dx
dx
1
x
−1 x
√
,
= tan−1
(ともに a > 0)
= sin
2
2
2 − x2
a
a +x
a
a
a
Z √
1³ √ 2
x´
x a − x2 + a2 sin−1
(a > 0)
a2 − x2 dx =
2
a
Z
√
dx
√
= log |x + x2 + A|
(A 6= 0)
2
Z √x + A
´
√
1³ √ 2
2
2
x + A dx =
x x + A + A log |x + x + A|
(A 6= 0)
2
定理 (テイラーの定理)
f : [a, b] → R は [a, b] で n 回微分可能とする．このとき c ∈ (a, b) が存在して
f (n) (c)
Rn =
(b − a)n に対して以下の等式が成り立つ．
n!
f (b) = f (a) +
f (2) (a)
f (n−1) (a)
f 0 (a)
(b − a) +
(b − a)2 + · · · +
(b − a)n−1 + Rn .
1!
2!
(n − 1)!
f (n) (c)
(b −
(n − 1)!
c)n−1 (b − a), c ∈ (a, b) を用いることも出来る．ただし c の値は，Rn と R̄n で一般に
異なる．
c は c = θa + (1 − θ)b, (0 < θ < 1) と表せる．Rn の代わりに R̄n =
µ
´