微分の公式集

微分の公式集
◎極限値： lim
x .0
sin x
1 - cos x
=1， lim
=0
x
x
x.0
○微分係数：f -0 a 1 =lim
h.0
f0 a + h 1 - f0 a 1
f x - f0 a 1
=lim 0 1
h
x -a
x.a
◎導関数の定義：f -0 x 1 = lim
h.0
f0 x + h 1 - f0 x 1
f x + lx 1 - f0 x 1
= lim 0
h
lx.0
lx
○ a が実数のとき　0 x a1 - =ax a-1 (x >0)：数Ⅱでは a＝ 1， 2， 3
◎積の微分： 6 f0 x 1g0 x 1 7- = f -0 x 1g0 x 1 +f0 x 1g -0 x 1
◎商の微分：
f0 x 1 - f -0 x 1g0 x 1 - f0 x 1g -0 x 1
=
2
g0 x 1
6 g0 x 1 7
> ?
1 g -0 x 1
特に，f0 x 1 =1 のときは，
=2
g0 x 1
6 g0 x 1 7
> ?
◎合成関数の微分：
○逆関数の微分：
dy
dy du
=
･
dx
du dx
dy
1
=
dx
dx
dy
○媒介変数 (パラメーター )で表された関数の微分：
dy
dt
dy
g- t
x = f0 t1, y =g0 t1 のとき　=
= 0 1
dx
f -0 t 1
dx
dt
◎三角関数の微分：
0 sin x 1- =cos x 0 cos x 1- =-sin x 0 tan x 1- =
◎指数 !対数関数の微分：
0 e x1 - = e x 0 a x1 - = a xlog a
0 log a x 1 - =
1
1
0 log x 1- =
xlog a
x
1
cos2 x
＜自然対数 e の定義＞
＜e の定義＞
1
x
8
e＝ lim 1+
x.+*
8
◎　lim 1 +
x.+*
1
x
9
x
1
＝ lim 0 1 + h 1 h ＝ 2.718281828 …
h.0
…①　の極限値．
8
x
1+
1
x
9
x
10
2.59374246
100
2.70481382
1000
2.71692393
10000
2.71814592
100000
2.71826823
1000000
2.71828046
10000000
2.71828169
①において
x
9
x
8
y= 1 +
y
e
3
1
x
9 のグラフ
x
2
1
O
1
x
1
= h とおくと，
x
+* のとき，h
0
よって，
8
lim 1 +
x.+*
1
x
9
x
1
＝lim 0 1 +h 1 h ＝2.718281828459045235360287471353 … ＝ e
h.0
言葉で説明すると，…
1 よりちょっとだけ大きい数を * 回かける。
ただし，その回数制限(厳密にいうと * ではない)があるので，
その極限は収束する。その値を e と定義する。
積分の公式集
Q
○ a ' -1 のとき　x adx =
○
1
dx = log x + C　x
Q
1
x a+1 + C　a +1
8
1
x a+1 = x a
a +1
1
0 log x 1- =
x
○三角関数
Q
cos xdx =sin x + C　Q
dx
Q cos x =tan x +C　sin xdx = -cos x +C　0 cos x 1- =-sin x
0 sin x 1- =cos x
0 tan x 1- =
2
dx
1
=+C 2
tan x
sin x
Q
8
1
cos 2 x
1
1
=tan x
sin 2 x
9
○指数関数
0 e 1 - =e
Q
a
+ C　0 a 1 - = a log a
a dx =
log a
Q
e xdx = e x + C　x
x
x
x
x
x
1
○F -0 x 1 = f0 x 1, a ' 0 のとき　f0 ax + b 1dx = F0 ax + b 1 + C
a
Q
Q
Q
○ f0 g0 x 1 1g -0 x 1dx = f0 u 1du　ただし u = g0 x 1
Q
Q
g -0 x 1
○
Q g0 x1 dx=log g0 x1 + C
○ f0 x 1dx = f0 g0 t1 1g -0 t1dt　ただし x =g0 t1
○部分積分法
Q
Q
f0 x 1g -0 x 1dx =f0 x 1g0 x 1 - f -0 x 1g0 x 1dx
○部分積分法（定積分）
Q
b
4
f 0 x1 g - 0 x1 dx= f 0 x1 g 0 x1
a
b
5 Q
a
-
b
a
f - 0 x1 g 0 x1 dx
9