問題 関数 y = f(x) = x2 のグラフ（放物線）の区間 [0, 1] における長さ L を

問題 関数 y = f (x) = x2 のグラフ（放物線）の区間 [0, 1] における長さ L を求めよ。(図１の赤い部分)
図 1: 2 次関数のグラフの長さ
解答
∫1√
長さ L は次のように表される。L = 0 1 + (f ′ (x))2 dx
√
√
f ′ (x) = 2x より、 1 + (f ′ (x))2 = 1 + 4x2
et − e−t
ここで、x =
とおく。このとき、
4
t
−t
√
e +e
dx =
dt かつ x = 0 のとき、t = 0。x = 1 のとき、t = log(2 + 5)
4
(∵)
et = X(> 0) とおいて、x = 0 の場合を解くと、
X − X −1
1
= 0 よって、X = X −1 =
すなわち、X = 1 = et ゆえに、t = 0.
4
X
また、
√
√
X − X −1
= 1 よって、X 2 − 4X − 1 = 0 すなわち、X = 2 ± 5、X > 0 より、X = 2 + 5. よって、
4 √
√
et = 2 + 5 から t = log(2 + 5).
et + e−t
dx =
dt は微分の定義より明らか。
4
√
√(
( et − e−t )2 √ e2t + 2 + e−2t
√
et + e−t )2
et + e−t
2
1 + 4x = 1 + 4
=
=
=
4
4
2
2
したがって、
√
∫ 1√
∫ log(2+√5)
∫
1 log(2+ 5) 2t
1 t
−t 2
′
2
L=
1 + (f (x)) dx =
(e + e ) dt =
(e + 2 + e−2t )dt
8
8 0
0
0
√
]log(2+ 5)
√ 2
√
1 [ 1 2t
1
1
1 log(2+√5)2 1
=
e + 2t + (− )e−2t
e
+ log(2 + 5) − e− log(2+ 5)
=
8 2
2
16
4
16
0
√
√
1
1
1
√ ・
=
(2 + 5)2 + log(2 + 5) −
・
・
（答）
16
4
16(2 + 5)2
1