一一 =k(

地表温度の変化が坑内になける地殻の傾斜，
伸縮の観測に及ぼす影響
本間正作*・長宗留男*
S1
. はしがき
宇無限弾性体内の温度分布による表面及び内部の弾性変形については銃に多くな計算があり(1)
叉内部の応力分布についての解析もあるく九最近トンネル内で地殻の傾斜及び、伸縮の観測が各所で、
行われるようになったから抗選弁の地表温度の日変化や年変化がこれらの量にどのような影響を与
えるかを吟味する必要が起ったが，上記の諸 計算は条件の遣いからそのま L応用するのに都合の悪
a
ぃ点もあるので再び、との問題を-とり上げてみた。
S2
. 字国筒形山服の中心における温度
先宇トシネ Jレタトの地湿の日変化や年変化に
応じて内部の温度がどの位変り得るかを調べ
て見る o トンネ Jレは芳 1図のような宇径 α の
宇円筒形の無限に長い山脈を横断して烏るも
'，
のとし，宇円の中心に原点をゐく極座標(9
“
・・ ー "
'
伊)をとる o 山脈弁の平地の地表は伊 = 0及
『
Fig， 1
び伊戸 7t とする o
熱伝導の式は温度を T，温度拡散率を k とすると
oT .Io2T .1 oT . 1 o2T¥
+一一一+てτ
Il~ )
. r o
1 :
0σ/
'... o
9
一
一
o
t =k(
¥:.~
O
?
'
;
'
:
;
・
(
2・
1)
地表の温度は振巾 A で週期的に変化するものとすれば境界条件は
事地震観測所
(1) G
.Nisbimura: TheE
f
f
e
c
to
fTemperatureDistribution on t
h
e Deformationo
f aSemie
s
.1
n
s
，
.
七 8
，
く1
9
3
0
)9
1
1
4
2
i
n
f
i
n
i
t
eE
l
a
s
t
i
cBody，Bull.Earthq.R
G
.Nisbimura: OntheE
x
p
r
e
s
s
i
o
n
so
ft
h
e Deformationo
faS
e
m
i
i
n
f
i
n
i
t
eE
l
a
s
t
i
c Body
耳u
l
l
.E
a
r
t
h
q
.
.R
e
s
.I
n
s
t
.，10
，
く1932)335-351
duetotheTemperature V
a
r
i
a
t
i
o
n，
壬
王
.Arakawa: TheE宜e
c
to
fTemperatureont
h
eDeformationo
f1
n
f
i
n
i
t
eo
rS
e
m
i
i
n
f
i
n
i
t
e
E
l
a
s
t
i
cBody(
1
)，Geophys.Magazin，弘(1
9
3
1
)2
9
7
3
0
6，
くI
I
J5，(
1932)139-146
門脇関郎:温度変化に伴う宇無限弾性体の変形，験震時報， 1
1，(
1
9
4
1
)4
1
6
4
2
8
く2) T
.Matsuzawa: T
e
r
n
p
e
r
a
t
u
r
v
e
r
l
a
u
fanderBodenoberfiacheundderSpannungszustandi
n
d
e
rE
r
d
k
r
u
s
t
e(
1
)，Bull
.E
a
r
t
b
q
.R
e
s
.1
n
s
，
.
七 20，
く1942)2
0
2
9
;(
1
1
)i
b
i
d，2
6
5
2
7
2
.
- 7
2ー
地表温度の変化が坑内における地殻の傾斜伸縮。観測に及ぼす彰響一一本間・長宗
(Aeii
となる。但し bニ
九/
!
α，
'v 2k
(271:>伊〉 π)
ヘ
α
=
<
T1"=
IAe-b
山 伊 刊 に PE-bsiW
〉
，
(
7
1
:
>
伊 >0)
ケ〉伊 >0) の部分の条件は山脈がないと考えた場合の宇無限同体
の表面で T が週期的に変る場合の内部の温度の
Tニ
α に治げる値である t3〉D との境界条件で解を
求めるのは容易で、友いが， T は地中に少し入ると念に減るから，伊の大きい部分の精度は大じて科
ー ム fー ψ)+i[1Jt-b、
fー伊、
e
IA.
(71:>伊〉ご)
III-E121111tIJ
(三〉伊 >0)
、
3ノ
一
Z
﹀
伊
﹀
04
/I
e
u
r
p+l(Pt-'-Up)，
T/'~ α=~ A
π
、
、
( Aei1ヘ
、
i
u伊 与 伊 と 告 い て
題になら友ぃ。従って唯今の程度の近似算では s
(
2・
2)
b=~合 α
但し
ハ
リ
T
m
す
A，
一TjO一muB
♂一針
一
点
+
17
+
T∞e
iPt とゐくと (2.1)， (2.2) は
17
o
一T103
と沿いても間に合う
(
2
.
3
)
(
2
.
3
)
(27T>伊 >7T)
T74=JArw-tbψ(~
>伊>'0)
…-…(
Ae-
(2.4)
号
)
7T>CP>
2.4) の右辺を F
o
u
r
i
e
r 級数で表わすと
となる o (
九=-~(毛色村)
国 ( }
)
3(28+1){(28+1)
2-2ib2
・
∞s(28+1)8
(28+1)4+4b4
(L十 2
)
十一一一 L 玄 '
8=0
A
+7L
L
一 一'
付
8 材\(~~~ 8 τ ¥ 1 9
{S2+2b2
-2b2
)
}
+i(82
(
"
1
f
'
o
s ~.一(ー
)~l-cos ~. )-(L 十 1)~ c
Y)f
叫 4b
三
国
'v
~
2
2
O
¥
(-y(2S+1)b[(2S十 十 2b -i{(28+1)2-2b}]+一ー2
i
T
1
(
L+2
)
+1)8
~~siu(28
s
:~f
'
'
. 28十 1J
(28+1)4+4b4
l
∞
1
)
2
.
.
L
I
壬
8=0
7T
∞
f
I~
87T¥
(1-cos~::ト (L
:
S{
2J
8=0 ¥
+~ L
了 、
I 87
182-2ib2s
c
o
s ~. -(-y+l~ :
'
A'~:'~A iu88
¥ 2
J84十 4b4
十 1)(
~
となる o 但 し
(3) 小平吉男:物理数学， I
4
1
)p
I巻(19
.
.
2
6
6な ど 参 照
3ー
- 7
(2.5)
験
報
時
震
寸ム
山
一 2
一
一
L
(2.6)
との条件で特に r=O，郎ちトンネ Jレの中心の T を求め， その実数部分をとると，途中の計算は
省略して
T?"~()= 会{~ベ∞ケ4) +勺J
k
e
r(イ扇)c
o
sp
t+
b
e
j (ゾ五百)s
i
nr
p
t
(~一一一一一一一一一一一一一一一 (2.7)
{
k
e
rゾ2b)P十 {
b
e
i(
y
'
2
b
)
}
2
となる均三 一般に b は極めて大きいから
T
=
J
f
d
三
7
Tb
e
- COs (
p
tー
b
(2.8)
β，
)
ーいや十三)
1-ω恥 1)吋
+ラ)
β =均一 1
(
2
.
9
)
'
と沿いてもよい。
今 αニ 5
0米
， k=5xI0
一
三 として，地表温度の日変化の影響を調べると b=395 となるカョら
'
¥
/
、1
2τ
←
ー
玄
一
、1395Ae-~95 cos(ptー1.66τ〉
T=
となる D
3
9
5
e- ニ
3
，
5x1
0
-171 であるから .
， A がいかに大きくても温度振巾は問題に友らない位小さ
い。又年変化を考えても同様であって， むしろトシネ Jレ内に外気が僅かながら侵入する効果の方が
進かに大きい。
S3
. 抗外に生じた熱的歪む偉播
前節のように抗内の地湿の交化の直接の影響は全く問題とならないが， 地表の温度変化によって
生じた地設の弾性歪が抗内に波及するかも知れない心配があるから，ヨえにこの点を吟味してみる口
地表にそうでトンネ Jレの方向に ι軸，鉛直下方に
g
軸をとり， これらの方向えの弾性的変位を
(u，'
i
ω
) として 22
足元的熱弾性平衡を考えよう D 熱伝導の式は
竺
=k
(竺
十字写)
りt ¥
C
;
/
，
X
"
.
J
(
3
.1)
ÔZ~
弾性平衡の式は
ロ2山 口2，1
O21U
(λ+2μ)士τ+μ でτ 十(入十 μ)て
OX"
oZ.
oXoz
_
. 31
'
αて 了
OT
;
2
2W
O2
10. /
:
.
.
. " ou
δT
(λ+2μ)士 τ + μ 7
ー‘+(入十 μ)一一一ニ α一一
z
'
"
，
ex
:
!
./ OXOZ
o
t
となる o ととで λ，μ は L創 的 の 弾 性 率 で，c を体積膨張係数とする時
(3.2)
4
4
地表温度。変化が坑内における地殻の傾耕伸縮の観測に及ぼす影響一一本間・長宗
α = ?似
μ) c
(
3
.
3
}
である o
地表の温度分布が
であれば、，
i
1
Tz=o=
Ae
)
t COs (
l
X)
(
3
.
4
)
T=Ae
一 回+
i1Jt COS (
Z
X
)
(3.p)
ー
(
3
.
1
)の解は
と友る o とこで
イ
函1
7R (ゆ
σ=
とれを (
3.2) に入れて持解
(
U
，
l
(3.6}
0
ω1) を求めると
αJA
(λ+2μ)(σ2__7'
1
)
、
ts
i
u(
l
x
)，)
-，
/
，
(3.7)
ασA
/.，
I
J
r
σz+il
tc
o
s(
l
X
) J
(
λ 十 2μ)(σ2-72)
となれこれに対し (
3
.
2
) の補解は
u
;
!
.
=
(
B十 E
Z
)
l
Z i1Jt s
i
u(
l
x
入 、
十
•
叫
/λ+3μE
¥
.
"I
=(B十 一 一 一 一 一 一 +Ez)e
一 山1
1
tc
o
s(
z
x
)J
¥λ+μ7 - J
(
3
.S)
とえにる。 B，E は積分常数である o 一般解は
(
3
.
9
)
u=
u
.l
+
u
.z
，'
1
0=
'
1
01'十 U''1.
地表の境界条件
「
み o= λ 手+(A+2μ〉
学
-αTZ=o=o
，
C
:
芯
σ
'
Z
L
.
ま
千
号
]
君=0=0
み =0=μ[
に代入すると
B=~ι/σ 一 +μ~\
，
1
0
)
(
3
.
2 ・ λ+μσ 十 J
入+‘2μ¥σ2_7
ノ
と 決 る 必 要 友 歪 成 分 の z=o にゐける値は
上
[
ま}=o， ε
1
4
3
f
]0
，ε
2
=
=[ま}~O
ド
である。戸 Oは地盤傾斜，
1
ε
，2
εはえ々水平及鉛直方向の伸縮である
から計算すると
-75ー
o
とれらの値を
(
3
.
1
1
)
，
(
3
.
9
)(
3
.
1
0
)
時 報
震
!
験
。=旦 .__
l
_
_CA s
i
n(
lx)，
8 σ十1
2
ε1== 一・一一~ OAc
o
s(
l
x)，
(3.12)
3 σ十1
(A十 2μ)(σ 十 l
)
3
三
を得る o
B
えに地表の温度分布を
•
Z
Fig.2
α>x
三
三
一 α))
(Ae iPt •
(
l
o
(
1叶〉 α)
0
=
=
{
.
Tz=
(3.13)
.
J
とゐくと， F
o
u
r
i
e
rの定理により
T
K
O
=
f
f
4
;∞
1
J
t
s{
l(
x-~) }d~ e
i
であるから
。
2空A
37T
I
∞
Joσ 十
{
asin{l (x ーと )}d~
d
l
J-
ε
1
=
i
f
A
f去7
4
〉
o
s
{
lげ
r
2-
r
iPt
e
，
)
}d~ e ，
iPt
20 A ∞
〔¥
λ
μ
〉
σ f-'>"
ld
17
，
¥
;+
，
f
'
>
.
/ v '
ZI∞s
{
Z(x ーか }d~ e
P
J
t，
3
π ム (λ+2μ)(σ 十 l
) J
-
あるいわ
- 76ー
地表温度の変化が坑内における地殻の傾諦伸縮の観測に及ぼす影響一一本間・長宗
20
ぺ
8=τ~A{H (
α -x)-H(
α十 り }
θ
f
り7T'
20
ε1=τ~A{K
(
3
.
1
4
)
α
( -x)+K.(
α十 り }
6
1
3
7
5
3
。7T'
20.r づk↓ 1
6 (7T'1
1
ε2=一 一 A
I一一」土{
，
;
'~一一←一一 {Kλ
α
μ
(一必り〉十 K (
μ
α
+
応
り
)
}ド
I
eiP
」
37πL)
λ
L十 2μL0J λ 十 2
μ
f
什 はα
f>x(>叫 に 対 応 し ，
1
0J，~ 1α く x J
H
ω
=1
0十
イ f
'
C08 (
Z
X)
00
叩
l
K 作 )=
r
国 中 旬)
山
dL
l
+ゾ
d
l
f-
叉は
的〉ニ
f
∞
丘
ゴZc)
J
o S
十 ゾS
2十4
r十J
I
C
)
(
3
.
1
5
)
日)= ∞ S
i
一 一 一 一
吾々の必要とするのは (
3
.
1
めではなく
(
0
Tz=o={
lAet1Jt
(
3
.1
6
)
(
I
x
!
>α)
に対する解である D 先す=地表杢体が T=AeiPt と温度変化したとする o とれは (
3
.14) で 'a~x と
する事により求まる D この日寺には
何吋子 ~1 となるから Riemann叫8gue の定理:の
り
H (a:
tx
)→0，K (
α土 x
)→0
、
¥
となるから明らかに
。
=0.ε ，
=0.εょ
'‘
2旦 . 主 土 色 ei1Jt
3 λ十 2
μ
3
.1
3
)の場ー
である。次に α己
主 mと -α の区間の地表温度だけが _Aeillt と変化したとする o とれほ (
合に相当するから
、
.1
7
2
.
(4) Whittakerand Vatson，ModernAnalysisp
- 7
7ー
日
寺
E色
験
江主
報
F
8=一子
ら
空
QA
剥{
{H(
μ
α 一叫
〉
め
m 一H(
糾
d
叫
山
+
村
叫
り
m仰)
‘
λ
リ叶
r
ε
1
=一言2干0A{K.(α
←
x)+K(
α+x)}el Pt•
、
20.r +
J
.
t
hr)
λ
1
I_
'
'
'
，
'
:
'，
~:
'~一一一一一 {K (α
-x)+K(
α+り}/
eiPt
37T Lλ+2μL0J λ 十 2
μ
」
ε~= 一一~A
となる D 両者を加えると (3.16) に対する解が得られ石わけで，それは
ー
Oニ
一手 A{H(
。7T
)-Hぐ叶 x)
}
ei1Jt，
20
i(3.17)
ε1=-τ~A{J~ (
α
一 x)+K(
α+り}
ei1Jt，
67
T
笠 Ar~士μ'-[ 0¥+ーさ
37T
但し
L)
レ
ト 2μl7T J. A+2μ
J
0
1は α
f〉勿 (
>
0
)
1 に対応する
i
τ
J .0. lα く x f
D
(
3
.15)の積分は俗、/手ーが十分大きい場合には佐総泰夫氏が最近発表された方法的による漸近
Y k
展開で求めることが出来る D その結果
(3.18)
とお:る (6)。とれを (
3
.
1
7
) にあてはめると /
(
α 土 x)1\1--?-/~1 の範囲に対して
I' / Y k I
。
8 坐 AmJ(pz-f
・
〉
3
2-x
2)
P -(
a
ε
1ニ
ー
ベ
子cJJJtfP4[pt-tf1(ト寸 Z
Z
L
)
]，
れ
と
よ印
刷u
r
EER-ily
、Be
ゆ
μ一
﹀一、ん
十一木
は
一3
) 0 4一
、
，E
E
E
・
E
E FZ
、
，
一
一
FC
f
α
.
>の (
>
0
)
1
iα >x f
(5) Y.S乱t
o
; Mathema
七i
c
a
lStudyoftheP
r
o
p
a
g
'
a
t
i
o
no
fWavesuponStratifiedMediumく1
)，
B
u
l
l
.
E
a
r
t
h
q
.R
e
s
.I
n
s
七
.
， 2
6(1948)1
4
(6) I
l(:のの方は高次項の係数が全部 Oとなったから exac
七な結果であるが，直接的積分法はまだ得ら
れなかった。
- 78 ー
地表温度の変化が坑内における地殻の傾斜伸縮の観測に及ぼす彰響一一本間・長宗
叉は
m
(3.19)
y=一一
α
とゐくと，
。
=-EL
.1nA
3 P
y
J(pz-子
〉
a2 - (1_y2)2
一
一
- ーの 1}111'l?
I T 1 rr
1 _
_
_
_ ~r .
r
k
ε
1一 ー ゾ
"，/~2CA
1-2 P
3
子v
p α ・「ほp
よ _y2~'"'-.l:' ilpt~tg-lt
~L 1-'
る
l~
A
L -_
l
1
n
kJ
A+μ
入十 2
μ
¥
.
1+3y2
(1
2J
j
， (3.20)
(
川y>(i>0汁
叩--jem-L
l
A
3
1
a2 ~
入十 μ
と友る D
k=7.66x10
一
九 0=2.5X10-5，α=200m==2X10¥ ^=μ
と3
なき(7)，
0
A=5 Q
. (日変化)， 13
0
(年変化)
と仮定すると，各数値は次表のようになる o
8.3xlO-10
d
一
一
年変化
k一
hw
一
p一
l
，
uv-IE
C
8.8x10-13
d
三
一
A
k一
p一
'
日変化
+
t
t
、/互一/ヲ
A
2
1 rv ， I20A A
一一一一・一一一~'\/一一・ ---':--CA 1
=
一一一一一一竺
A+μ3πlP
α 3え+
2
μ
0
-10
6
.
4X1
3.2xlO-s
I1.1X10-4
1
2.9xlO-4
ε
1の年変化全振巾だけ
最 後 の 欄 は 抗 外 だ け に 関 係 す る も の で あ る か ら 抗 内 の 分 に つ い て 言 え ば.
が 10-7 を越える程度で，他はすべて現在の観測精度よりはるかに小さい事が分る O
観 測 場 所 の 位 置 に 関 す る 係 数 は 芳 3図のように左る
(8)
く7) 岩 石 の 熱 伝 導 卒 を 4X10-3，比熱を 0
.
1
8，密度を 2
.
9とお < k の値がこのようになる。 α=200mは
松代'の地震観測所にあてはめた値である O
/
;
;
;
1
.(8) V
.../
?
:ーは日変
化につ u
、て約1.0 年 変 化~ に つ ν
、 て 約2
ー
k-1
.
~
~
0に な る か ら l ω [ の 値 が 日 変 化 に つ い て は
O-J - . .
I
• -
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•
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lOCm年 変 化 に つ い て は 2 m位 ま で (
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2
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) ゅ結果が安全に使える勘定になる。
験 震 時 報
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S4
. 結 論
宇円筒形の山にうがった抗選外部の地表温度の日変化や年変化による，内部の地湿の変化は伝導
による分は全く考えられた足い。外部の熱的歪は若干内部まで及んで来るが長さ 200米位の抗道内で
は水平伸縮の年変化に 1
0
-7 位の影響があるだけで他は観測の妨げとなる程度に至ら友い。観測
からはむしろ丹気の侵入による内部の地温自体の徴小な変化が鉛直方向の伸縮に及ぼす影響が重要
3
.
1
4
)により
で
， との項は (
εz=2
型
3
J
t
i
2
i
¥土色 e
直は
となる O 乙の f
.
i
¥十 2
μ
λ
=
μ
.1
として温度が O
。
C 変つでも 2
.2X1
0-5e
iPt と友る D
以上の計算には歪に与える山脈の影響は考えなかった口叉三弐元的問題は扱わなかったが大体。
1
9
5
0，V
I，22)
目安を見るには差っかえあるまい。 (
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-80ー