Taylor展開に関する解説

Taylor Expansion
1
05/29/2000
力学・補助教材 (新田英雄)
テイラー展開
ここでは、ちょっと変わったやり方で、テイラー展開
∞
1 (n)
f (a)xn
n!
n=0
f (x + a) =
=
(1)
=
が成り立つことを示す [1]。
て，何回でも微分できる関数 f (x) があるとする．こ
· · · + Cm · m · (m − 1)xm−2 + · · ·
∞
=
Cm+1 (m + 1)mxm−1
のような関数は，一般に、次のような x の多項式の無
限級数の形に表すことができる:
f (x) =
Cm xm
(2)
=
m=0
と f (x + a) は
f (x + a) =
Cm (x + a)m
f (l) (x) =
(3)
=
m=0
(x + a)m =
l=0
m!
xm−l al
(m − l)!l!
(4)
Cm+l
∞ m
(m + l)! m
x
m!
Cm
m!
xm−l al
(m − l)!l!
(5)
一 方，式 (2) を 微分 して いく と (m 階 の 微分 を
f (m) (x) と表して)
∞
d
Cm xm
dx m=0
d
(C0 + C1 x1 + C2 x2 + C3 x3 +
dx
· · · + Cm xm + · · ·)
= C1 + C2 · 2x1 + C3 · 3x2 +
· · · + Cm · mxm−1 + · · ·
∞
=
Cm+1 (m + 1)xm
げていって，x のべきが常にゼロからスタートするよ
∞
f
(x) =
d (1)
f (x)
dx
Cm+l
(m + l)! m
a
m!
(7)
が成り立つことがわかる．これから
∞
∞
∞ 1 (l)
(m + l)! m l
f (a)xl =
a x
Cm+l
l!
l!m!
m=0
l=0
(8)
l=0
という式が得られる．ここで l = n − m と置き換え
て，l と m の和を m と n のものに変換すると (l ≥ 0
だから m ≤ n という制限が加わることに注意して)，
式 (8) は
∞
∞ n
1 (l)
n!
l
f (a)x =
am xn−m
Cn
l!
(n
−
m)!m!
n=0
m=0
l=0
(9)
となる．この右辺は式 (5) の右辺と一致しているから
(l = n とおき直して)
m=0
(2)
(6)
うに調節した．最後の式から
m=0
と書き直される．
=
m=0
∞
Cm+l (m + l)(m + l − 1) · · · (m + 1)xm
f (l) (a) =
m=0 l=0
f (1) (x) =
···
∞
となる．ただし，1 回微分するごとに和の添え字を上
だから，式 (3) は
f (x + a) =
Cm+2 (m + 2)(m + 1)xm
m=0
となる．ここで 2 項定理から
m
m=1
∞
m=0
係数 Cm はゼロをとっても構わない．(2) 式を用いる
∞
d
(C1 + C2 · 2x1 + C3 · 3x2 +
dx
· · · + Cm · mxm−1 + · · ·)
= C2 · 2 · 1 + C3 · 3 · 2x1 +
いま，考えている x の範囲（変域）では発散しなく
∞
∞
d Cm+1 (m + 1)xm
dx m=0
f (x + a) =
∞
1 (n)
f (a)xn
n!
n=0
(10)
Taylor Expansion
2
を得る．これは，テイラー展開の公式である．
けて書くと
特に、a = 0 としたもの
f (x) =
∞
1 (n)
f (0)xn
n!
n=0
f (2m) (x) =
(11)
f (2m+1) (x) =
はよく用いられる。これをマクローリン展開と呼ぶこ
とがある。
0.1
d2m cos x
= (−1)m cos x
dx2m
d2m+1 cos x
= (−1)m+1 sin x
dx2m+1
(m = 0, 1, 2, 3, · · ·)
(18)
となる。x = 0 を代入すると
f (2m) (0)
テイラー展開の例
f (2m+1) (0)
= (−1)m cos 0 = (−1)m
= (−1)m sin 0 = 0
1.
(m = 0, 1, 2, 3, · · ·)
f (x) = ex
(12)
であるから、(11) 式では n = 偶数 = 2m の項だ
けが残って
exp(x) は、何回微分しても exp(x)、つまり
f (n) (x) = ex
cos x =
(13)
(14)
∞
1 n
x
n!
n=0
3.
1
f (x) = √
1−x
f (1) (x) =
f (2) (x) =
2.
···
(16)
コサインは、一回微分するとサインになり (マイ
になる。この繰り返しで
f (2) (x) =
f (3) (x) =
f (4) (x) =
(22)
くと
1
3
1
√
= 1 + x + x2 + · · ·
2
8
1−x
(23)
となることがわかる．
− sin x,
d (1)
f (x) = − cos x,
dx
d (2)
f (x) = sin x,
dx
cos x
···
1
(1 − x)−3/2
2
1·3
(1 − x)−5/2
2·2
となる。マクローリン展開の最初の 3 項までを書
ナスがつくが)、サインを一回微分するとコサイン
f (1) (x) =
(21)
微分していくと
(15)
を得る。
f (x) = cos x
(20)
に具体的に各項を書き並べて計算してみなさい。)
を代入すると、
ex =
∞
(−1)m 2m
x
(2m)!
m=0
となる。(よく分からなくなった人は、(6) 式のよう
であるから、(11) 式に
f (n) (0) = e0 = 1
(19)
参考文献
[1] 新田英雄「物理と特殊関数」(共立出版) (1997)
（有馬朗人・大槻義彦編「物理数学 One Point」
(17)
これより、奇数回微分したものはサインに、偶数
回微分したものはコサインになり、符号はサイン・
コサインが一巡りする毎に代わることが分かる。
そこで f (n) を、n が奇数のものと偶数のものに分
第 16 巻）