テイラー展開 ex,cosx,sinxのテイラー展開 ! オイラーの公式の証明

基礎微積分学 A テイラー展開
1 テイラー展開
関数 f (x) の（x = 0 での）テイラー展開とは：
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn + · · ·
ここで係数 an は，
an =
f (n) (0)
n!
• n! = 1 × 2 × · · · × (n − 1) × n (階乗). ただし，0! = 1 とする．
• f (n) (x) : f (x) を n 回微分したもの．
• f (n) (0) : f (n) (x) の x に 0 を代入したもの．
2 ex, cos x, sin x のテイラー展開
x2 x3 x4
xn
+
+
+ ··· +
+ ···
2!
3!
4!
n!
x2 x4 x6
cos x = 1 −
+
−
+ ···
2!
4!
6!
x3 x5 x7
sin x = x −
+
−
+ ···
3!
5!
7!
ex = 1 + x +
3 オイラーの公式の証明
x2
x3
x4
xn
+
+
+ ··· +
+ · · · に x = iθ を代入すると，
2!
3!
4!
n!
2
3
4
5
(iθ)
(iθ)
(iθ)
(iθ)
(iθ)6 (iθ)7
(iθ)n
eiθ = 1 + iθ +
+
+
+
+
+
···+
+···
2!
3!
4!
5!
6!
7!
n!
i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i, i6 = −1, i7 = −i, · · · より，
−θ2 −iθ3 θ4 iθ5 (−θ6 −iθ7
(iθ)n
eiθ = 1 + iθ +
+
+ +
+
+
···+
+···
2!
3!
4!
5!
6!
7!
n!
θ2 θ4 θ6
θ3 θ5 θ7
eiθ = (1 − + − + · · · ) + i(θ − + − + · · · ) = cos θ + i sin θ.
2! 4! 6!
3! 5! 7!
ex = 1 + x +