浅水波のモデル方程式の短波長極限

応用力学研究所研究集会報告 No.17ME-S2
「非線形波動および非線形力学系の現象と数理」（研究代表者 梶原健司）
Reports of RIAM Symposium No.17ME-S2
Phenomena and Mathematical Theory of Nonlinear Waves and Nonlinear Dynamical Systems
Proceedings of a symposium held at Chikushi Campus, Kyushu Universiy,
Kasuga, Fukuoka, Japan, November 9 - 12, 2005
Article No. 07
浅水波のモデル方程式の短波長極限
松野 好雅（MATSUNO Yoshimasa）
（Received February 7, 2006）
Research Institute for Applied Mechanics
Kyushu University
May, 2006
浅水波のモデル方程式の短波長極限
山口大工 松野 好雅 (MATSUNO Yoshimasa)
E-mail address: [email protected]
I. 序論
次の非線形偏微分方程式について考察する：
ut + αux − uxxt + (β + 1)uux = βux uxx + uuxxx , u = u(x, t).
(1)
(1) は β = 2 のとき Camassa-Holm(CH) 方程式 [1, 2]，β = 3 の時 Degasperis-Procesi(DP) 方程
式 [3, 4] に各々還元する．CH, 及び DP 方程式のいずれも完全可積分な浅水波のモデル方程式で
あるが，CH 方程式は数学的な議論からすでに導出されていた [5]．また，DP 方程式は特異点解析
(パンルーベ解析) により完全可積分な方程式の候補として最近提案された [3]．ここでは最初に上
記方程式の短波長極限方程式を導出する．次にこれら方程式の解を CH，及び DP 方程式のソリ
トン解に短波長極限操作を施すことにより構成し，解の性質について議論する．
II. モデル方程式
A. 基礎流体系
CH 方程式，及び DP 方程式は ２次元非粘性，非圧縮, 渦無し流体で, 外力は重力のみで表面
張力は無視できる場合，流体の基礎方程式系に特異摂動法を適用することにより導出できる [6]．
方程式導出上の仮定として， a) 有限振幅波，弱分散，b) 摂動展開によりオーダー ², δ 2 , ²δ 2 の項
までを保持，を置く．無次元パラメータは a（波の代表振幅），λ（波の代表波長），h（水深）
の３つからつくられる ² ≡ a/h, 及び δ ≡ h/λ である．
B. CH 方程式
CH 方程式は以下のように書ける：
ut + αux − uxxt + 3uux = 2ux uxx + uuxxx , u = u(x, t).
ここで u は 水深
√h
2
(2)
' 0.707h での流体速度の水平方向成分である．
C. DP 方程式
DP 方程式は以下のように書ける：
ut + αux − uxxt + 4uux = 3ux uxx + uuxxx , u = u(x, t).
q
(3)
ここで u は 水深 13 11
3 h ' 0.782h での流体速度の水平方向成分である．u により流体表面形状 η
2
は η = c1 u + c2 u + c3 uxx のように表せる．ここで, c1 , c2 , c3 は定数．
1
III. 短波長極限
A. CH 短波長極限方程式
座標変換
ξ=
x
, τ = ²t ²
(4)
及び摂動展開
u = ²2 (u0 + ²u1 + · · ·)
(5)
を導入する．(4), (5) を CH 方程式 (2) へ代入すると u0 は次の方程式を満たす：
u0,τ ξξ − αu0,ξ + 2u0,ξ u0,ξξ + u0 u0,ξξξ = 0.
上式を元の変数で書き直すと
utxx − αux + 2ux uxx + uuxxx = 0.
(6)
(6) で α = 0 と置いた式は Hunter-Saxton 方程式と呼ばれており，これの初期値問題は厳密に解け
ることが知られている [7].
B. DP 短波長極限方程式
(6) に対応する方程式は
utxx − αux + 3ux uxx + uuxxx = 0.
(7)
(7) を境界条件 u → 0, |x| → ∞ のもとで x で１回積分すると
utx − αu + (uux )x = 0
(8)
となるが，これは Vakhnenko 方程式として知られている物理系から導出された可積分方程式であ
る [8].
IV. 短波長極限方程式の解の構成
A. CH 短波長極限方程式
方程式 (6) の解を CH 方程式の解から極限操作により導く．
1. CH 方程式の N -ソリトン解
(1) で β = 2, α = 2κ2 と置いた CH 方程式の N -ソリトン解は以下のパラメータ表示で書ける
[9]：
µ
¶
∂
f2
u(y, t) =
ln
(9)
∂t
f1
x(y, t) =
y
f2
+ ln
+ d.
κ
f1
2
(10)
ここで

N
X
exp  µi (ξi − φi ) +
X
f1 =
µ=0,1
i=1
µ=0,1
i=1

X
µi µj γij 
(11b)
!
2κ3
y−
t − yi0 , (i = 1, 2, ..., N )
1 − κ2 ki2
ξi = ki
(11a)
1≤i<j≤N
Ã
(12a)
(ki − kj )2
, (i, j = 1, 2, ..., N ; i 6= j)
(ki + kj )2
(12b)
1 − κki
, (0 < κki < 1), (i = 1, 2, ..., N ).
1 + κki
(12c)
eγij =
e−φi =
µi µj γij 
1≤i<j≤N

N
X

exp
µi (ξi + φi ) +
X
f2 =

X
注意
f1 , f2 は浅水波のモデル方程式 [10]
ut + uy − 4uut + 2uy
Z ∞
y
ut dy − utyy = 0, u = u(y, t)
(13)
の N -ソリトン解を与える τ -関数と本質的に同じである．
2. CH 方程式の 1-及び 2-ソリトン解
a. 1-ソリトン解 u=
κ2 k12
1+
2κc̃1 k12
, (c̃1 = κc1 )
+ (1 − κ2 k12 ) cosh ξ1
Ã
(1 − κk1 )eξ1 + 1 + κk1
ξ1
+ ln
=
κk1
(1 + κk1 )eξ1 + 1 − κk1
x − c1 t − x10
Ã
ξ1 = k1
(14a)
!
+d
(14b)
!
2κ3
2κ2
y−
t
−
y
,
c
=
.
10
1
1 − κ2 k12
1 − κ2 k12
(14c)
b. Peakon 極限
CH 方程式（２）は κ = 0 の時，以下に示す peakon 解 [1, 2] を有する：
u(x, t) = ce−|x−ct−x0 | .
(15)
この解は極限操作 κ → 0, κk1 → 1 により (14) から導かれる．図１に１-ソリトン解，及び peakon
解を示す．パラメータは c1 = 1.0 で，κ の値が 0.71, 0.55, 0.28 の 3 ケースに対応するソリトン解
が実線で図示してある．κ の値が小さくなるとソリトンの幅が狭くなり，それに伴い高さが増加す
ることがわかる．κ → 0 の極限で，ソリトンは peakon 解（図の波線）に漸近する．
3
c. 2-ソリトン解
f1 , f2 は
f1 = 1 + eξ1 −φ1 + eξ2 −φ2 + δeξ1 +ξ2 −φ1 −φ2
(16a)
f2 = 1 + eξ1 +φ1 + eξ2 +φ2 + δeξ1 +ξ2 +φ1 +φ2
(16b)
1 − κki
, (0 < κki < 1), (i = 1, 2)
1 + κki
(17a)
と書ける．ここで
e−φi =
δ = eγ12 =
(k1 − k2 )2
.
(k1 + k2 )2
(17b)
図２に 2-ソリトン解（c1 = 1.0, c2 = 2.0, κ = 0.5）を示す．
1
0.8
u
0.6
0.4
0.2
0
-7.5
-5
0
X
-2.5
2.5
5
7.5
図１：1-ソリトン解，及び peakon 解
15
10
5
0
40
-50
0
20
50
0
x
100
図２：2-ソリトン解
4
-20
t
u
3. 極限操作による方程式 (6) の解の導出
a. N -カスプソリトン解
最初に便宜上，CH 方程式，及びその N -ソリトン解の表式において u を −u に，t を −t に置き
換える．この操作の後に各変数，及びパラメータに対し次のスケーリングを導入する：
x̃ =
x
y
u
yi0 ˜ d
, ỹ = , t̃ = ²t, ũ = 2 , k̃i = ²ki , ỹi0 =
, d= .
²
²
²
²
²
(18)
次に ξi → ξi + πi, (i = 1, 2, ..., N ) のように位相をずらし，その後 ² → 0 の極限をとる．このとき
変数，及びパラメータは以下のように ² のべきに展開できる：
ξi = ξ˜i = k̃i (ỹ −
µ
e
−φi
2κ
− ỹi0 )
k̃i2
2²
=− 1−
κk̃i
µ
eφi = − 1 +
2²
κk̃i
(19a)
¶
+ O(²2 )
(19b)
¶
+ O(²2 )
(19c)
1 ˜
²f + O(²2 )
κ2 t̃
1
f2 = f˜ + 2 ²f˜t̃ + O(²2 ).
κ
f1 = f˜ −
ここで
f˜ =
X
(20b)

X
µi µj γ̃ij 
(21a)
(k̃i − k̃j )2
, (i, j = 1, 2, ..., N ; i 6= j).
(k̃i + k̃j )2
(21b)
µ=0,1
eγ̃ij =

N
X
exp  µi ξ˜i +
(20a)
i=1
1≤i<j≤N
(19)，(20) を (9), (10) へ代入すると，方程式 (6)（ただし，u = ũ, x = x̃, t = t̃, α = −2κ2 と置い
た式）の N -カスプソリトン解のパラメータ表示が得られる：
2 ³ ˜´
ln f
t̃t̃
κ2
(22)
´
2 ³
ỹ
˜
+ 2 ln f˜ + d.
t̃
κ κ
(23)
ũ(ỹ, t̃) =
x̃(ỹ, t̃) =
b. 1-カスプソリトン解
以下各文字に付けた”チルダー”を省略する．N = 1 の場合，解 (22)，(23) は 1-カスプソリトン
解となる．実際、解は
2
ξ1
(24a)
u(y, t) = 2 sech2
2
k1
x(y, t) =
y
2
ξ1
−
tanh + d
κ κk1
2
5
(24b)
µ
ξ1 = k1 y −
2κ
t − y10
k12
¶
(24c)
√
のように書ける．図３に k1 = 2, κ = 1 のときの 1-カスプソリトン解 (24) を X(≡ ξ1 ) の関数と
して実線で示す．図中の波線は c1 = 1, κ = 0 に対する CH 方程式の peakon 解である．
1
0.8
u
0.6
0.4
0.2
0
-7.5
-5
-2.5
0
X
5
2.5
7.5
図３：1-カスプソリトン解
B. DP 短波長極限方程式
1. DP 方程式 (3) の N -ソリトン解
DP 方程式 (3)(ただし，α = −3κ3 ) の N -ソリトン解は以下のパラメータ表示を有する [11, 12]：
µ
u(y, t) =
x(y, t) =
ここで
g1 =
i=1
µ=0,1
i=1
eγij =
(26)

X
µi µj γij 
(27a)

X
µi µj γij 
(27b)
1≤i<j≤N
!
Ã
ξi = ki
(25)
1≤i<j≤N

N
X
exp  µi (ξi + φi ) +
X
¶
y
g1
+ ln
+d
κ
g2

N
X

exp
µi (ξi − φi ) +
X
µ=0,1
g2 =
∂
g1
ln
∂t
g2
3κ4
t − yi0 , (i = 1, 2, ..., N )
y+
1 − κ2 ki2
(ki − kj )2 [(ki2 − ki kj + kj2 )κ2 − 3]
, (i, j = 1, 2, ..., N ; i 6= j)
(ki + kj )2 [(ki2 + ki kj + kj2 )κ2 − 3]
v³
´
u
u 1 − κki (1 − κki )
u
2
´
, (i = 1, 2, ..., N ).
e−φi = t ³
1+
κki
2
(1 + κki )
6
(28a)
(28b)
(28c)
注意
τ -関数 g1 ，g2 は浅水波のモデル方程式 [13]
ut − uy − utyy + 3uut − 3uy
Z ∞
y
ut dy = 0, u = u(y, t)
(29)
の N -ソリトン解を与える τ -関数と同じ構造を有する．
2. 方程式 (7) の N -ループソリトン解
CH 極限方程式の解の導出と同様の手続きにより DP 極限方程式 (7)(ただし，α = −2κ3 ) の解
は以下のように表せる：
2
u(y, t) = 3 (ln g)tt
(30)
κ
y
2
x(y, t) = + 3 (ln g)t + d.
(31)
κ κ
g=
X

N
X
exp  µi ξi +
µ=0,1
i=1
eγij =
µi µj γij 
(32a)
1≤i<j≤N
!
Ã
ξi = ki

X
3κ2
y − 2 t − yi0 , (i = 1, 2, ..., N ; i 6= j)
ki
(ki − kj )2 (ki2 − ki kj + kj2 )
, (i, j = 1, 2, ..., N ; i 6= j).
(ki + kj )2 (ki2 + ki kj + kj2 )
(32b)
(32c)
以下に N = 1, 2 の場合について解を書き下す．また，代表的なパラメータの値に対して各々の解
を図示する．
a. 1-ループソリトン解
9κ
ξ1
sech2
2
2
2k1
(33a)
y
3
ξ1
−
tanh + d
κ κk1
2
(33b)
3κ2
y − 2 t − y10 .
k1
(33c)
u(y, t) =
x(y, t) =
Ã
ξ 1 = k1
!
√
図４の実線は k1 = 3/ 2 に対する 1-ループソリトン解を示す．図中波線は DP 方程式の peakon
解を表す．
b. 2-ループソリトン解
2-ループソリトン解を与える τ -関数は
g = 1 + eξ1 + eξ2 + eξ1 +ξ2 +γ12
√
√
で与えられる．図 5 に k1 = 3/ 2, k2 = 2/ 2 に対する 2-ループソリトン解を示す．
7
(34)
1
0.8
u
0.6
0.4
0.2
0
-4
0
X
-2
2
4
図４：1-ループソリトン解
2
u 1.5
1
0.5
0
-10
5
-5
0
0
x
t
5
10
-5
図５：2-ループソリトン解
V. 要約
1. CH，及び DP 方程式の短波長極限方程式を導出し，これらの解を前者の N -ソリトン解から
極限操作により導いた
2. CH 短波長極限方程式に対してはカスプソリトン解を，DP 短波長極限方程式に対してはルー
プソリトン解を各々得た．
3. ここで考察した２つの短波長極限方程式の解の性質が異なるのは CH，及び DP 方程式の構
造の違いを反映しているものと考えられる．
8
参考文献
[1] R. Camassa and D.D. Holm, Phys. Rev. Lett. 71 (1193) 1661.
[2] R. Camassa, D.D. Holm and J.M. Hyman, Adv. Appl. Mech. 31 (1994) 1.
[3] A. Degasperis and M. Procesi, in Symmetry and Perturbation Theory ed. A. Degasperis
and G. Gaeta (World Scientific, Singapore, 1999) 22.
[4] A. Degasperis, A.N.W. Hone and D.D. Holm, Theor. Math. Phys. 133 (2002) 1463.
[5] B. Fuchssteiner and A. Fokas, Physica D4 (1981) 47.
[6] R.S. Johnson, J. Fluid Mech. 455 (2002) 63.
[7] J.K. Hunter and R.A. Saxton, SIAM J. Appl. Math. 51 (1991) 1498.
[8] V.A. Vakhnenko, J. Phys. A: Math. Gen. 25 (1992) 4181.
[9] Y. Matsuno, J. Phys. Soc. Jpn. 74 (2005) 1983.
[10] M.J. Ablowitz, D.J. Kaup, A.C. Newell and H. Segur, Stud. Appl. Math. 53 (1974) 249.
[11] Y. Matsuno, Inverse Problems 21 (2005) 1553.
[12] Y. Matsuno, Inverse Problems 21 (2005) 2085.
[13] R. Hirota and J. Satsuma, J. Phys. Soc. Jpn. 40 (1976) 611.
9