第 14 回 高次方程式 (2)

１章　方程式・式と証明
ラジオ
学習メモ
第 3 節　高次方程式　講師：渡 部 儀 隆 第 14 回　高次方程式 (2)
高次方程式の解法 2
3 次以上の方程式を解くのに，因数分解を用いてみましょう。
そして，因数定理を利用した解法を学習しましょう。
①　因数分解による解法その3　～文字でおき換える～
②　因数定理の復習
③　因数定理を利用した解法
※本文中の〈例●〉〈問▲〉などの表記は教科書の問題等と対応しています。
因数分解による解法その 3 ∼文字でおき換える∼
【例題 4】
方程式 x4 ＋ 3x2 − 4 ＝ 0 を解け。
［解］ x2＝Xとおくと
X2＋3X−4＝0
左辺を因数分解すると
(X−1)(X＋4)＝0
(x2−1)(x2＋4)＝0 ←Xをx2にもどす
ゆえに x2−1＝0 または x2＋4＝0
したがって x＝±1，±2i
因数定理の復習
今まで整式の除法，剰余の定理，因数定理について学んだ。ここでは，これらのことを
用いて 3 次方程式を解くことを学ぶ。その中でも一番重要なのが因数定理である。ここで，
因数定理について復習しておこう。
因数定理
整式 P (x) において
P( α )＝0　x−αは P(x) の因数である。
高校講座・学習メモ
32
１章　方程式・式と証明
ラジオ
学習メモ
第 3 節　高次方程式　第 14 回　高次方程式 (2)　高次方程式の解法 2
因数定理を利用した解法
【例題 5】
次の方程式を解きなさい。
(1) x3 − 4x2 − 7x ＋ 10 ＝ 0
(2) x3 − 5x2 ＋ 7x − 2 ＝ 0
［解］ (1) P(x)＝x3−4x2−7x＋10 とおくと
3
2
P (1)＝1 −4×1 −7×1＋10＝0
←定数項 10 の約数± 1，± 2，± 5，± 10
を代入して調べる。
であるから，
x−1はP(x)の因数である。
x2 − 3x − 10
x -1 ) x3 − 4x2 - 7 x ＋ 10
x3- x2
− 3x 2 - 7x
− 3x 2 ＋ 3x
− 10x ＋ 10
− 10x ＋ 10
0
右のわり算より P(x)＝(x−1)(x2−3x−10)
よって
(x−1)(x2−3x−10)＝0
(x−1)(x＋2)(x−5)＝0
x −1＝0またはx＋2＝0またはx−5
したがって x =1，− 2，5
(2) P(x)＝x3−5x2＋7x−2 とおく
P(2)＝23−5×22＋7×2−2＝0
であるから，
x−2はP (x)の因数である。
右のわり算より
P(x)＝(x−2)(x2−3x＋1)
よって
(x−2)(x2−3x＋1)＝0
x2 − 3x ＋ 1
x -2 ) x3 − 5x2 ＋ 7 x − 2
x 3 − 2x 2
− 3x 2 ＋ 7x
− 3x 2 ＋ 6x
x − 2
x − 2
0
x−2＝0またはx2−3x＋1＝0 ← x 2−3x＋1＝0
したがって x ＝ 2，x ＝
3± 5
2
高校講座・学習メモ
33