第 13 回 高次方程式 (1)

１章　方程式・式と証明
ラジオ
学習メモ
第 3 節　高次方程式　講師：渡 部 儀 隆 第 13 回　高次方程式 (1)
高次方程式の解法 1
x3 − 4x2 − 7x ＋ 10 ＝ 0 のような，2 次方程式より次数の高い
方程式を解く方法を学びましょう。
こう じ
①　高次方程式
②　因数分解による解法 その1　～共通因数でくくる～
③　因数分解による解法 その2　～a3−b3の公式の利用～
※本文中の〈例●〉〈問▲〉などの表記は教科書の問題等と対応しています。
高次方程式
2
2x ＋ 3x ＋ 5 ＝ 0 のように表される方程式を 2 次方程式といった。
x3 − 4x2 − 7x ＋ 10 ＝ 0
x4 ＋ 5x3 − 2x2 ＋ x − 7 ＝ 0
のような方程式を，それぞれ3次方程式，4次方程式という。
また，3次以上の方程式を，一般に高次方程式という。
高次方程式は，いつでも解けるとはかぎらないが，因数分解することによって簡単に解
ける場合もある。
因数分解による解法 その１ ∼共通因数でくくる∼
【例題 2】次の方程式を解きなさい。
(1) x3 − 5x2 ＋ 6x ＝ 0
［解］ 左辺を因数分解すると
x (x2−5x＋6)＝0 ← x をくくり出す
x (x−2)(x−3)＝0
←ABC＝0 ならば
x＝0 または x−2＝0 または x−3＝0
A＝0 または B＝0 または C＝0
したがって x＝0，2，3
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１章　方程式・式と証明
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第 3 節　高次方程式　第 13 回　高次方程式 (1)　高次方程式の解法 1
3
2
(2) x −2 x −2 x＝0
［解］ 左辺を因数分解すると
x(x2−2x−2)＝0
x＝0またはx2−2x−2＝0
x2−2x−2＝0より
解の公式を利用して解くと
x＝
− (-2) ± ( − 2) 2 -4 × 1 × ( - 2)
2×1
※ の中を計算して
4 ＋ 8 → 12 → 2 3
＝
2±2 3
2
＝
2(1 ± 3)
2
解の公式
2
-b ± b -4ac
x ＝
2a
を利用する。
＝ 1± 3
したがって、x ＝ 0,1± 3
因数分解による解法 その2 ∼a3­b3の公式の利用∼
【例題 3】
方程式 x 3 − 1= 0 を解きなさい。
［解］ 左辺を因数分解すると
(x − 1)(x2 ＋ x ＋ 1)＝0
よって
← a 3 -b 3
= (a - b )(a 2 +a b + b 2 )
x − 1＝0 または x2 ＋ x ＋ 1＝0
x − 1＝0 より x＝1
x2 ＋ x ＋1＝0 より
x＝
-1 ± 1 2 − 4 × 1 × 1
-1 ± 3 i
＝
← −3＝ 3 i
2×1
2
したがって x＝1，
-1 ± 3 i
2
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