数 学 Ⅱ

数学 Ⅱ
ラジオ
学習メモ
第 11 回　高次方程式（1）
第 1 章　方程式・式と証明
第 3 節　高次方程式
講師：渡 部 儀 隆 高次方程式の解法（1）
x3 ＋ 2x2 − 3x ＋ 4 ＝ 0 のような，2 次方程式より次数の高
い方程式を解く方法を学ぼう。
こう じ
高次方程式
因数分解による方法　〜共通因数でくくる〜
因数分解による方法　〜 a3−b3 の公式の利用〜
高次方程式
2x2 ＋ 3x ＋ 5 ＝ 0 のように表される方程式を 2 次方程式といった。
x3 ＋ 2x2 − 3x ＋ 4 ＝ 0
x4 ＋ 5x3 − 2x2 ＋ x − 7 ＝ 0
のような方程式を，それぞれ3次方程式，4次方程式という。
また，3次以上の方程式を，一般に高次方程式という。
高次方程式は，いつでも解けるとはかぎらないが，簡単に解ける場合もあ
る。
因数分解による方法　〜共通因数でくくる〜
【例題 2】
方程式 x3 − 5x2 ＋ 6x ＝ 0 を解け。
［解］ 左辺を因数分解すると
x (x2−5x＋6)＝0　← x をくくり出す
x (x−2)(x−3)＝0
x＝0　または　x−2＝0　または　x−3＝0
したがって　x＝0，2，3
因数分解による方法　〜 a3 − b3 の公式の利用〜
【例題 3】
方程式 x3 − 1= 0 を解け。
［解］ 左辺を因数分解すると
(x - 1)(x2 + x + 1)＝0
したがって
←　a3 − b3
= (a - b)(a2 + a b + b2)
x - 1＝0　または　x2 + x + 1＝0
x - 1＝0　より　x＝1
x2 + x +1＝0　より
x＝
-1 ±　12 − 4 × 1 × 1 -1 ±　3 i
＝
←　-3＝　3 i
2×1
2
したがって　x＝1，
-1 ±　3 i
2
高校講座・学習メモ
19
数学 Ⅱ
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学習メモ
第 12 回　高次方程式（2）
第 1 章　方程式・式と証明
第 3 節　高次方程式
講師：渡 部 儀 隆 高次方程式の解法（2）
3 次以上の方程式を解くのに，因数分解を用いてみよう。そし
て，因数定理を利用した解法を学習しよう。
因数分解による方法　〜文字で置き換える〜
因数定理を利用した解法
3 次方程式を解く
因数分解による方法　〜文字で置き換える〜
【例題 4】
方程式 x4 − 5x2 ＋ 4 ＝ 0 を解け。
［解］ x2＝Xとおくと
X2−5X＋4＝0
左辺を因数分解すると
(X−1)(X−4)＝0
(x2−1)(x2−4)＝0
ゆえに　x2−1＝0　または　x2−4＝0
したがって　x＝±1，±2
因数定理を利用した解法
今まで整式の除法，剰余の定理，因数定理について学んだ。ここでは，こ
れらのことを用いて 3 次方程式を解くことを学ぶ。その中でも一番重要な
のが因数定理である。ここで，因数定理について復習しておこう。
因数定理
整式 P (x) において
x−αは P(x) の因数である。
P(α)＝0　3 次方程式を解く
【例題 5】
次の方程式を解け。
(1)　x3 − 4x2 − 7x ＋ 10 ＝ 0
(2)　x3 − 5x2 ＋ 7x − 2 ＝ 0
← 10 の約数± 1，± 2，
［解］ (1)　P(x)＝x −4x −7x＋10とおくと
± 5，± 10 を代入
3
2
P (1)＝13−4×12−7×1＋10＝0
して調べる。
であるから，
x−1はP(x)の因数である。
右の割り算より
P(x)＝(x−1)(x2−3x−10)
よって
(x−1)(x2−3x−10)＝0
(x−1)(x−5)(x＋2)＝0
したがって　x =1，5， −2
x2 − 3x − 10
x -1 ) x3 − 4x2 - 7 x ＋ 10
x3- x2
− 3x 2 - 7x
− 3x 2 ＋ 3x
− 10x ＋ 10
− 10x ＋ 10
0
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20
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第 1 章　方程式・式と証明
第 3 節　高次方程式
第 12 回　高次方程式（2）
高次方程式の解法（2）
(2)　P(x) ＝ x3 − 5x2 ＋ 7x − 2 ＝ 0　とおくと
P(2) ＝ 23 − 5 × 22 ＋ 7 × 2 − 2 ＝ 0
であるから，x − 2 は P(x) の因数である。
右の割り算より
P(x) ＝ (x − 2)(x2 − 3x ＋ 1)
よって
(x − 2)(x2 − 3x ＋ 1) ＝ 0
x − 2 ＝ 0 または x2 − 3x ＋ 1 ＝ 0
3 ±　5
したがって　x ＝ 2，
2
x2 − 3x ＋ 1
x -2 ) x3 − 5x2 ＋ 7 x − 2
x 3− 2x 2
− 3x 2 ＋ 7x
− 3x 2 ＋ 6x
x−2
x−2
0
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