徹底攻略！ 立体図形 基本問題 その 1 解説と解答

☆算数で合格！☆賛数仙人の部屋
徹底攻略！ 立体図形
8－k1－9
基本問題 その 1
解説と解答・ポイント
角柱の体積と表面積
1 図のような、たて 12cm、横 10cm、高さ 8cm の直方体があります。この直方体の表面積は何
cm2 ですか。
（答）592cm2
※ 直方体の表面積は、
（たて×横＋横×高さ＋高さ×たて）×2 で求め
られます。
10cm
8cm
表面積は（（12×10＋10×8＋8×12）×2＝）592cm2 です。
12cm
2
次の図は角柱です。この角柱の体積は何 cm3 ですか。
（答）810cm2
※
角柱の体積は、底面積×高さで求められます。
底面積は（15×12÷2＝）90cm2 です。よって、体積は（90×9＝）810cm3
です。
12cm
15cm
9cm
3
次の図は角柱です。この角柱の表面積は何 cm2 ですか。
（答）432cm2
※ 角柱の側面積は、「底面のまわりの長さ×高さ」で求められます。よ
って、表面積は「底面積×2＋底面のまわりの長さ×高さ」です。
6cm
10cm
2
底面積は（（6＋12）×8÷2＝）72cm 、側面積は（（6＋10＋12＋8）×8＝）
8cm
288cm2 です。よって、表面積は（72×2＋288＝）432cm2 です。
8cm
12cm
4
図で、三角柱の体積が 360cm3 のとき、表面積は何 cm2 ですか。
（答）408cm2
底面積は（6×8÷2＝）24cm2 なので、三角柱の高さは（360÷24＝）15cm
です。よって、表面積は（24×2＋（6＋8＋10）×15＝）408cm2 です。
8cm
6cm
10cm
5
図は直方体から 1 つの平面で一部分を切り取った図です。この立体の体積は何 cm3 ですか。
（答）1056cm3
※
「底面積×高さの平均」で求めます。
底面積は（12×8＝）96cm2、高さの平均は（（9＋13）÷2＝）11cm なの
で、
（96×11＝）1056cm3 です。
9cm
13cm
9cm
12cm
8cm
6 年後期 第 5 回
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徹底攻略！ 立体図形
8－k1－10
基本問題 その 2
解説と解答・ポイント
円柱の体積と表面積
1
次の図は円柱です。この円柱の表面積は何 cm2 ですか。
（答）251.2cm2
底面積は（4×4×3.14＝）16×3.14cm2、側面積は（4×2×3.14×6＝）
48×3.14cm2 です。よって、表面積は（16×3.14×2＋48×3.14＝80×3.14
＝）251.2cm2 です。
6cm
4cm
2 図は、底面の半径が 6cm の円柱から、底面の半径が 2cm の円柱をくりぬいた図形です。この
とき、次の問いに答えなさい。
2cm
6cm
（1）この立体の体積は何 cm3 ですか。
5cm
（2）この立体の表面積は何 cm2 ですか。
（答）（1）502.4cm3
（2）452.16cm2
（1）底面積は（6×6×3.14－2×2×3.14＝）32×3.14cm2、高さは 5cm なので、体積は（32
×3.14×5＝）502.4cm3 です。
（2）底面積の合計は（32×3.14×2＝）64×3.14cm2、側面は「高さ×まわりの長さ」より、
外側が（5×12×3.14＝）60×3.14cm2、内側が（5×4×3.14＝）20×3.14cm2 です。よって、
表面積は（64×3.14＋60×3.14＋20×3.14＝144×3.14＝）452.16cm2 です。
3
図は、直方体から半円柱をくりぬいた立体です。この立体の体積は何 cm3 ですか。
（答）52.15cm3
180
底面積は（3×4－1×1×3.14× ＝）10.43cm2、高さは 5cm なので、
（10.43
360
×5＝）52.15cm3 です。
1cm
1cm
3cm
4cm
5cm
4 図の立体は底面の半径が 5cm の円柱を斜めに切断したものです。この立体の体積は何 cm3 で
すか。
（答）628cm3
円柱にして考えると、円柱の底面積は（5×5×3.14＝）25×3.14cm2、高
さは（5＋11＝）16cm なので、この円柱の体積は（25×3.14×16＝）400
11cm
×3.14cm3 です。よって、求める体積はこれを 2 でわり（400×3.14÷2
5cm
＝200×3.14＝）628cm3 です。
5cm
5＋11
＝200×3.14＝）628cm3 です。
※ 底面積×高さの平均を使って、
（5×5×3.14×
2
6 年後期 第 5 回
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8－k1－11
基本問題 その 3
解説と解答・ポイント
展開図
1 図のような正方形を 5 個つなげたものに、1～10 の番号をつけた同じ大きさの正方形の中から
1 つだけをくっつけて、立方体の展開図にします。その番号をすべて、小さい順にかきなさい。
（答）3、5、6、7
※
立方体は 3 組の平行な正方形で囲まれた図形です。
1
3
9 10
図の展開図で、○どうし、□どうしは平行な面です。色をつけた正方
形と平行な面は順に 3、5、6、7 です。
8
4
7
2
2
6
5
図は直方体の展開図です。この直方体の体積は何 cm3 ですか。
（答）120cm3
右の図で、○＋◆＝11cm、□＋◆＝13cm から、□は○より（13
－11＝）2cm 長いことがわかります。○×2＋□＝11cm から○×2 11cm
＋○＋2＝11cm から○×3＝9cm なので○は 3cm、◆は（11－3＝）
8cm、□は（13－8＝）5cm です。よって、この直方体の体積は（3
×8×5＝）120cm3 です。
11cm
13cm
3 ある立体の展開図は、右の図のように長方形と台形でできています。このとき、次の問いに答
えなさい。
5cm
（1）この立体の頂点の数はいくつですか。
8cm
（2）この立体の体積を求めなさい。
2cm
（答）（1）8 個
※
4cm
（2）100cm3
右の図のような四角柱になります。
2cm
（1）図から頂点の数は 8 個です。
（2）底面積は（（2＋8）×4÷2＝）20cm2、高さは 5cm なので、体積は
（20×5＝）100cm3 です。
4
5cm
4cm
8cm
図は円柱の展開図です。このとき、次の問いに答えなさい。
（1）この円柱の側面積は何 cm2 ですか。
10cm
（2）この円柱の体積は何 cm3 ですか。
（答）（1）376.8cm2
34cm
（2）1130.4cm3
底面の円の直径 2 つ分の長さは（34－10＝）24cm です。よって、底面の円の直径は（24÷2
＝）12cm で、半径は 6cm です。
（1）表面積は展開図の面積と等しくなります。側面積は、底面のまわりの長さが 12×3.14cm
なので（12×3.14×10＝）120×3.14cm2 です。よって、側面積は（120×3.14＝）376.8cm2
です。
（2）底面の半径 6cm、高さは 10cm なので、体積は（6×6×3.14×10＝）1130.4cm3 です。
6 年後期 第 5 回
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8－k1－12
基本問題 その 4
解説と解答・ポイント
角すいと円すい
1 図は 1 辺が 6cm の立方体の中で、頂点を結んで作った立体です。この立体の体積は何 cm3 で
すか。
（答）36cm3
求める立体の底面積は（6×6÷2＝）18cm2、高さは 6cm なので、体積は（18
1
×6× ＝）36cm3 です。
3
1
※ 底面積は立方体の 、高さは等しく「すい」なので、三角すいの体積は
2
1 1
1
1
立方体の体積の（ × ＝） 倍になり、
（6×6×6× ＝）36cm3 です。
2 3
6
6
2 次の図は、底面が正方形の直方体の中で、頂点を結んで作った立体です。このとき、この立体
の体積は何 cm3 ですか。
（答）48cm3
求める立体の底面積は（6×8÷2＝）24cm2、高さは 6cm なので、体積は（24
1
×6× ＝）48cm3 です。
3
8cm
1
※ 底面積は直方体の 、高さは等しく「すい」なので、三角すいの体積は
2
6cm
1 1
1
1
立方体の体積の（ × ＝） 倍になり、
（6×6×8× ＝）48cm3 です。
2 3
6
6
3
図は円すいです。この円すいの体積は何 cm3 ですか。
（答）314cm3
底面積は（5×5×3.14＝）25×3.14cm2、高さは 12cm なので、体積は（25×
1
3.14×12× ＝）314cm3 です。
3
12cm
5cm
4
2
図は円すいの展開図です。この円すいの表面積は何 cm ですか。
（答）414.48cm2
135 3
3
＝ より、底面の半径は（16× ＝）6cm なので、この円すいの表
360 8
8
3
面積は（16×16×3.14× ＋6×6×3.14＝132×3.14＝）414.48cm2 です。
8
※
公式を使うと 6×（6＋16）×3.14＝132×3.14 となります。
135°
16cm
5 図の円すいで、AB は底面の円の直径で 6cm です。三角形 OAB が正三角形であるとき、この
円すいの表面積は何 cm2 ですか。
（答）84.78cm2
※
円すいの側面積は「底面の周×母線÷2」で求められます。
O
2
底面積は（3×3×3.14＝）9×3.14cm 、側面積は（6×3.14×6÷2＝）18×
3.14cm2 なので、（9×3.14＋18×3.14＝）84.78cm2 です。
※
公式を使うと（3×（3＋6）×3.14＝27×3.14＝）84.78cm2 です。
A
B
6 年後期 第 5 回
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8－k1－13
基本問題 その 5
解説と解答・ポイント
投影図
1 図は、ある立体を正面から見た図と、真上から見た図（投影図）です。真上から見た図は直角
三角形です。この立体の表面積は何 cm2 ですか。
（答）168cm2
右の図のような三角柱になります。底面は直角三角形なので、底面積
は（6×8÷2＝）24cm2 です。側面積は、（底面のまわりの長さ）×（高
さ）なので、
（（6＋8＋10）×5＝）120cm2 です。よって、立体の表面積
は（24×2＋120＝）168cm2 です。
真上
10cm
5cm
正面
8cm
6cm
2 図は、ある立体を正面と真上から見た図を表しています。真上から見た図は半円で、真横から
正面
見ても長方形になりました。この立体の体積は何 cm3 ですか。
5cm
（答）125.6cm3
真上
8cm
右の図のような底面が半円の柱になります。底面は直径 8cm の半円なので、
180
180
底面積は 4×4×3.14× cm2、高さは 5cm なので（4×4×3.14× ×5＝）
360
360
125.6cm3 です。
真上
正面
正面
3 図は、底面が正方形のある立体を正面と真上から見た図を表しています。このとき、次の問い
に答えなさい。
10cm
8cm
（1）この立体の体積は何 cm3 ですか。
（2）この立体の表面積は何 cm ですか。
（答）
（1）384cm3
12cm
真上
2
（2）384cm2
（1）右の図のような正四角すいになります。正面の図は色がついた三角
形です。底面は正方形で（12×12＝）144cm2、高さは 8cm なので、体
1
積は（144×8× ＝）384cm3 です。
3
8cm
10cm
12cm
（2）底面積は 144cm2、側面は底辺が 12cm、高さ 10cm の二等辺三角形が 4 枚なので、（12
×10÷2×4＝）240cm2 なので、表面積は（144＋240＝）384cm2 です。
4 図は、1 辺が 6cm の立方体を 1 つの平面で 2 つの立体に分けたときの大きい方の立体を、真正
面と真上から見た図で、点 P は辺 AB のまん中の点を表しています。この立体の体積は何 cm3
ですか。
（答）198cm3
右の図のように立方体から三角すいを切り取った立体になります。立方体の
1
体積は（6×6×6＝）216cm3、三角すいの体積は（6×6÷2×3× ＝）18cm3
3
なので（216－18＝）198cm3 です。
※
1 1 1
1
三角すいの体積は立方体の（ × × ＝） です。
2 3 2
12
6 年後期 第 5 回
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8－k1－14
基本問題 その 6
解説と解答・ポイント
立方体の中の立体
1
図は 1 辺の長さが 12cm の立方体の中で、点を結んで作った立体です。この立体の体積は何 cm3
ですか。ただし、辺の途中の点（●）は、ちょうど真ん中の点です。
（答）576cm3
図のように立方体から三角すいを 4 つ切り取った立体になります。立方体の体
1
積は（12×12×12＝）1728cm3、三角すいの体積は（12×12÷2×12× ＝）288cm3
3
なので（1728－288×4＝）576cm3 です。
1 1
1
色がついた三角すいの体積は立方体の体積の（ × ＝） です。求める立体の体積は立
2 3
6
1
方体からこれを 4 つひいて、（12×12×12×（1－ ×4）＝）576cm3 です。
6
※
2 図は 1 辺の長さが 6cm の立方体の中で、点を結んで作った立体です。この立体の体積は何 cm3
ですか。ただし、辺の途中の点（●）は、ちょうど真ん中の点です。
（答）180cm3
図のように立方体から三角すいを 8 つ切り取った立体になります。立方体の
1
体積は（6×6×6＝）216cm3、三角すいの体積は（3×3÷2×3× ＝）4.5cm3
3
なので（216－4.5×8＝）180cm3 です。
※
1 1 1
1
色がついた三角すいは立方体の（ × × ＝） です。求める立体の体積は立方体から
8 2 3
48
1
これを 8 つひいたものなので、（6×6×6×（1－ ×8）＝）180cm3 です。
48
3 図は 1 辺の長さが 6cm の立方体の中で、点を結んで作った立体です。この立体の体積は何 cm3
ですか。ただし、辺の途中の点（●）は、ちょうど真ん中の点です。
（答）36cm3
図で色がついた四角形は正方形で、面積は（6×6÷2＝）18cm2 です。求める立
1
体の体積はこれを底面とする四角すい 2 つ分なので（18×3× ×2＝）36cm3
3
です。
※
1 1
1
求める立体の体積は、立方体の体積の（ × ＝） になります。よって
2 3
6
1
（6×6×6× ＝）36cm3 です。
6
4 図は 1 辺の長さが 4cm の立方体の中で、点を結んで作った立体です。この立体の体積は何 cm3
ですか。ただし、点（●）は、立方体の面の正方形の対角線が交わる点です。
（答）32cm3
右の図で、三角すいアと三角すいイは合同なので、アでイをうめることがで
きます。アとイのように、上半分の三角すい 4 つを下半分のあいたところに
うめると、求める立体の体積は立方体のちょうど半分になります。よって、
1
体積は（4×4×4× ＝）32cm3 です。
2
ア
イ
6 年後期 第 5 回
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8－k1－15
基本問題 その 7
解説と解答・ポイント
立方体の切断
1 図は立方体 ABCD-EFGH です。この立方体を 3 点 A、C、G を通る平面で切ります。切り口の
形を図にかきこみ、切り口の名前を答えなさい。
（答）長方形
右の図のように長方形 AEGC になります。
D
C
B
A
G
H
E
F
2 図は立方体 ABCD-EFGH で、点 P、Q、R は辺のちょうど真ん中の点です。す。この立方体を
3 点 P、Q、R を通る平面で切ります。切り口の形を図にかきこみ、切り口の名前を答えなさい。
（答）正六角形
右の図のように正六角形になります。
A
R
B
QD
P
C
G
H
E
F
3 図は 1 辺の長さが 6cm の立方体 ABCD-EFGH です。この立方体を 3 点 D、B、E を通る平面で
切ります。このときできる 2 つの立体のうち、体積が大きい方の立体の体積は何 cm3 ですか。
（答）180cm3
右の図のように切り口は正三角形になります。三角すい AEDB の体積は立方
1 1
1
1
A
体の体積の（ × ＝） なので、求める体積は（6×6×6×（1－ ）＝）180cm3
2 3
6
6
です。
E
D
B
C
G
H
F
4 図は 1 辺の長さが 12cm の立方体 ABCD-EFGH で、点 P、Q は辺のちょうど真ん中の点です。
す。この立方体を 3 点 P、Q、G を通る平面で切ります。このときできる 2 つの立体のうち、体
積が小さい方の立体の体積は何 cm3 ですか。
（答）504cm3
右の図のように切り口は等脚台形になります。HD、EP、GQ を伸ばして三
R
角すい R-HEG にして考えます。三角形 RPD と三角形 REH で、PD：EH＝
1：2 なので、RD：RH＝1：2 となり、RD の長さは 12cm です。三角すい
D Q
P
1
B
A
R-HEG の体積は（12×12÷2×24× ＝）576cm3、三角すい R-DPQ の体積
3
1
H
は（6×6÷2×12× ＝）72cm3 なので、求める体積は（576－72＝）504cm3
3
E
F
です。
C
G
6 年後期 第 5 回
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8－k1－16
基本問題 その 8
解説と解答・ポイント
水面の高さ
1 底面の半径が 6cm の円柱 A と底面の半径が 10cm の円柱 B があり、A には深さ 10cm まで、B
には深さ 6cm まで水が入っています。このとき、A に入っている水をすべて B に入れると、B
の水の深さは何 cm になりますか。
（答）9.6cm
A と B の底面積の比が（6×6×3.14：10×10×3.14＝）9：25 な
A
25 とします。それぞれ高さをかけて体積を表す
ので、これを⑨、○
90 、B は（○
25 ×6＝）○
150 です。A の水を B 10cm 90
と A は（⑨×10＝）○
90 ＋○
150 ＝）○
240 となるので、B の水の
に入れると水の体積は（○
⑨
240 ÷○
25 ＝）9.6cm になります。
深さは（○
B
150
6cm
25
2 高さが 40cm の直方体の形をした容器に毎分 1.2  の割合で水を入れると、水を入れはじめてか
ら 5 分後に水の深さが 15cm になりました。水を入れはじめて 8 分後に、水の深さは何 cm にな
りますか。
（答）24cm
3
毎分（1.2×1000＝）1200cm の割合で、5 分間水を入れると水の体積は（1200×5＝）6000cm3
です。このときの水の深さは 15cm なので、底面積は（6000÷15＝）400cm2 です。8 分間に
水は（1200×8＝）9600cm3 入ります。よって、このときの水の深さは（9600÷400＝）24cm
です。
※
5 分で 15cm なので、1 分で（15÷5＝）3cm から、8 分では（3×8＝）24cm です。
3 たて 8cm、横 10cm、高さ 20cm の直方体の形をした水そうに、16cm の深さまで水が入ってい
ます。この水そうに石 A を完全にしずめると、水の深さは 19cm になりました。この石の体積は
何 cm3 ですか。
（答）240cm3
容器の底面積は（8×10＝）80cm2 で、見かけ上増えた水の高さは（19－16＝）3cm です。
よって、石 A の体積は（80×3＝）240cm3 です。
4 底面積が 600cm2 で、高さが 40cm の直方体の容器と、底面積が 240cm2 で高さが 50cm の四角
柱があります。容器に水が 12cm の高さまで入っているとき、四角柱をまっすぐ立てると、水の
深さは何 cm になりますか。
（答）20cm
2
四角柱の底面積は 240cm で、水の高さは 12cm なので、棒によって
押しのけられた水の体積は（240×12＝）2880cm3 です。直方体の棒
の底面積だけ水の底面積は減るので、押しのけられたあとの水の底 40cm
面積は（600－240＝）360cm2 になります。水の深さは押しのけられ
12cm
2
2
た分だけ高くなるので（2880÷360＝）8cm 高くなります。よって、
240cm 360cm
水の深さは（12＋8＝）20cm です。
※
○の部分の底面積の比（240：360＝）2：3 から、高さの比は 3：2 になるので、水面は
（12÷3×2＝）8cm 高くなります。
6 年後期 第 5 回