反転公式の証明

2011 年度「数学 8」
− 43 −
< 反転公式の証明 >
Z
補題
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
∞
π
2
: a>0
sin au
du =
0
⎪
u
⎪
⎪
0
: a=0
⎩ −π
2
: a<0
（証明） ① a > 0 のとき p29 の結果より au = t とおくと
Z ∞
Z n
Z an
sin au
sin au
sin t 1
· dt
du = lim
du = lim
t
n→∞ 0
n→∞ 0
u
u
a
0
a
Z an
Z ∞
sin t
sin t
π
dt =
dt =
= lim
n→∞ 0
t
t
2
0
② a < 0 のとき au = −t とおくと
¶
µ
Z ∞
Z n
Z −an
1
sin au
sin au
sin(−t)
dt
· −
du = lim
du = lim
n→∞ 0
n→∞ 0
u
u
a
− at
0
Z −an
Z ∞
sin t
sin t
π
= lim
−
dt = −
dt = −
n→∞ 0
t
t
2
0
[反転公式の証明]
Z
正数 R に対し、gR (x) =
積分より
R
−R
f (u)e−ixu du, g∞ (x) =
Z
∞
f (u)e−ixu du とおくと f は絶対可
−∞
¯Z
¯
Z
¯
¯
¯
¯
−ixu
max |g∞ (x) − gR (x)| = max ¯
f (u)e
du¯ <
|f (u)|du → 0 (R → ∞)
x∈R
x∈R ¯ |u|>R
¯ = |u|>R
だから、任意の正数 n と実数 t に対し、
¯Z
¯
¯
¯
n
−n
ixt
g∞ (x)e
よって F (x) =
Sn (t) =
1
2π
Z
dx −
Z
n
∞
Z
n
ixt
gR (x)e
−n
n
−n
|g∞ (x) − gR (x)|dx → 0 (R → ∞)
f (u)e−ixu du に対し、
−∞
F (x)eixt dx =
−n
1
2π
Z
n
−n
½Z
∞
−∞
¾
f (u)e−ixu du eixt dx
Z n
1
g∞ (x)eixt dx = lim
gR (x)eixt dx
R→∞ 2π −n
−n
!
)
Z n ÃZ R
Z n (Z R
1
1
= lim
f (u)e−ixu du eixt dx = lim
f (u)eix(t−u) du dx
R→∞ 2π −n
R→∞ 2π −n
−R
−R
1
=
2π
Z
¯
Z
¯
¯
<
dx¯ =
n
ここで f (u)eix(t−u) は x に関して連続、u に関して区分的に滑らかだから
(u, x) ∈ [−R, R] × [−n, n] の範囲で積分順序が交換できる。（p109）
従って
1
R→∞ 2π
Sn (t) = lim
Z
R
−R
½Z
n
−n
¾
Z
f (u)eix(t−u) dx du = lim
R→∞
R
−R
½
1
2π
Z
n
−n
¾
eix(t−u) dx f (u)du