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Studyaid DB 2007_1

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Studyaid DB 2007_1
岡山大学過去問 2007年
1 関数 f 0 x 1 = xsin
(1) x)
1
x >0 1 について
x 0
3
ならば,f - 0 x 1 >0 であることを示せ。
4p
(2) b)a >0 ,b)
2
のとき,
p
Q
b
a
f 0 x 1 dx( 0 b - a 1f 0 b 1 (b - a が成り立つことを示せ。
解説
(1) f - 0 x 1 =sin
8
9
1
1
1
1
1
1
+ xcos
- 2 =sin - cos
x
x
x
x
x
x
3
1
4
1
4
から 0< ( p t = とおくと 0< t( p
4p
3
3
x
x
x)
g 0 t 1 =sin t - tcos t とおくと g - 0 t 1 =cos t -cos t + tsin t = tsin t
4
g - 0 t 1 =0 とすると,0< t( p から t = p
3
ここで,
2
3
p- U >0 であるから
3
2
g - 0 t1
Q
b
a
0 01
g 0t1
g 0 t 1 >0 ゆえに f - 0 x 1 >0
(2) 0
t
よって,g 0 t 1 の増減表は次のようになる。
…
p
…
+
0
-
9
p
:
4
p
3
2
3
p- U
3
2
f 0 x 1 dx( 0 b -a 1f 0 b 1 (b - a … ① とする。
[1] a = b のとき Q
b
a
f 0 x 1 dx = 0 b - a 1f 0 b1 = b - a =0 よって,① は成り立つ。
[2] a < b のとき,x >0 で f 0x 1 は連続であるから,積分の平均値の定理により
Q
b
a
f 0 x 1 dx = 0 b - a 1f 0 c 1 ,a < c< b となる実数 c が存在する。
3
2
2
< であるから,(1) より,x) のとき f 0x 1 は単調に増加する。
4p
p
p
(i)
f
2
2
1
2
(c < b のとき f 0 c 1 <f 0 b 1 (ii) c < (b のとき f 0 c 1 = csin (c < ,
p
p
c
p
8 9
2
2
= (f 0 b 1 から f 0 c 1 <f 0 b 1
p
p
b
Q
(i),(ii) から 0 b - a 1f 0 c 1 < 0 b - a 1f 0 b 1 すなわち sin
また,lim f 0 x 1 = lim
x.*
x.*
1
x
1
x
= lim
t.+0
a
sin t
=1 であり,f 0x 1 は単調に増加するから
t
Q
f 0 b 1 <1 よって 0 b - a 1f 0 b 1 <0 b - a 1 ・ 1 ゆえに [1],[2] から,① は成り立つ。
f 0 x 1 dx < 0 b - a 1f 0 b 1
b
a
f 0 x 1 dx < 0 b -a 1f 0 b 1 < b - a
岡山大学過去問 2007年
2 方程式 y = x 2 で与えられる座標平面上の放物線を C とする。
(1) A =
8 9
a
b
c
d
とする。C 上の点 P をどのように選んでも,P を行列 A で表される移
動によって移した点がまた C 上の点であるとき,A の成分 a,b,c,d が満たす条件
を求めよ。
(2) 2 点 Q 0 -1,1 1 ,Q - 0 1,-1 1 をとり,Q - を通り,線分 QQ - と直交する直線を ^と
する。C 上の点 P を行列 B =
8
1 -a
1
a
9
で表される移動によって移した点を P - とする
とき,P - から Q までの距離と P - から ^までの距離が等しくなるような a の値を求め
よ。
解説
(1) 点 P の座標を 0 t,t 21 (t は実数) とする。
8 98 9 8
t
a
b
c
d t2
2
=
9
at + bt 2
ct + dt 2
2
点 0at + bt ,ct + dt 1 は C 上にあるから ct + dt 2 = 0 at + bt 21 2
すなわち b 2t 4 +2abt 3 + 0 a 2 - d1 t 2 - ct =0
これがすべての実数 t について成り立つから
b 2 =0 ,2ab=0 ,a 2 - d =0 ,-c =0
よって,求める条件は b = c =0,d = a 2
(2) 直線 QQ- の傾きは -1 であるから,直線 ^の方程式は
y - 0 -1 1 =1 ・ 0 x -1 1 ゆえに x - y -2=0
また,P 0 t,t 21 (t は実数) とすると,点 P - の座標は
8
1 -a
1
a
98 9 8
t
t2
=
9
t - at 2
t + at 2
から P - 0t - at 2,t + at 21
したがって,P-Q= 0 P- と ^との距離 1 となるための条件は
2
2
t - at 1 - 0 t + at 1 - 2
U 0t - at 2 + 11 2 + 0 t+ at 2 - 11 2 = 0
U 1 2 + 0 -1 1 2
ゆえに U 26a 2t 4 + 0 1 - 2a 1t 2 + 17 = U 2 at 2 +1
両辺を 2 乗して整理すると 0 1 -4a1t 2=0
よって t =0 または a =
1
4
したがって t =0,すなわち P が原点のとき a は任意の実数
t ' 0,すなわち P が原点でないとき a =
1
4
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