Studyaid DB 2007_1

岡山大学過去問　2007年
１ 関数 f 0 x 1 = xsin
(1)　x)
1
x >0 1 について
x 0
3
ならば，f - 0 x 1 >0 であることを示せ。
4p
(2)　b)a >0 ，b)
2
のとき，
p
Q
b
a
f 0 x 1 dx( 0 b - a 1f 0 b 1 (b - a が成り立つことを示せ。
解説
(1)　f - 0 x 1 =sin
8
9
1
1
1
1
1
1
+ xcos
- 2 =sin - cos
x
x
x
x
x
x
3
1
4
1
4
から　0< ( p t = とおくと　0< t( p
4p
3
3
x
x
x)
g 0 t 1 =sin t - tcos t とおくと　g - 0 t 1 =cos t -cos t + tsin t = tsin t
4
g - 0 t 1 =0 とすると，0< t( p から　t = p
3
ここで，
2
3
p- U >0 であるから
3
2
g - 0 t1
Q
b
a
0 01
g 0t1
g 0 t 1 >0 ゆえに　f - 0 x 1 >0
(2)　0
t
よって，g 0 t 1 の増減表は次のようになる。
…
p
…
+
0
-
9
p
:
4
p
3
2
3
p- U
3
2
f 0 x 1 dx( 0 b -a 1f 0 b 1 (b - a … ① とする。
[1]　a = b のとき　Q
b
a
f 0 x 1 dx = 0 b - a 1f 0 b1 = b - a =0 よって，① は成り立つ。
[2]　a < b のとき，x >0 で f 0x 1 は連続であるから，積分の平均値の定理により
Q
b
a
f 0 x 1 dx = 0 b - a 1f 0 c 1 ，a < c< b　となる実数 c が存在する。
3
2
2
< であるから，(1) より，x) のとき f 0x 1 は単調に増加する。
4p
p
p
(i)
f
2
2
1
2
(c < b のとき　f 0 c 1 <f 0 b 1 (ii) c < (b のとき　f 0 c 1 = csin (c < ，
p
p
c
p
8 9
2
2
= (f 0 b 1 から　f 0 c 1 <f 0 b 1
p
p
b
Q
(i)，(ii) から　0 b - a 1f 0 c 1 < 0 b - a 1f 0 b 1 すなわち　sin
また，lim f 0 x 1 = lim
x.*
x.*
1
x
1
x
= lim
t.+0
a
sin t
=1 であり，f 0x 1 は単調に増加するから
t
Q
f 0 b 1 <1 よって　0 b - a 1f 0 b 1 <0 b - a 1 ･ 1 ゆえに　[1]，[2] から，① は成り立つ。
f 0 x 1 dx < 0 b - a 1f 0 b 1
b
a
f 0 x 1 dx < 0 b -a 1f 0 b 1 < b - a
岡山大学過去問　2007年
２ 方程式 y = x 2 で与えられる座標平面上の放物線を C とする。
(1)　A =
8 9
a
b
c
d
とする。C 上の点 P をどのように選んでも，P を行列 A で表される移
動によって移した点がまた C 上の点であるとき，A の成分 a，b，c，d が満たす条件
を求めよ。
(2)　2 点 Q 0 -1，1 1 ，Q - 0 1，-1 1 をとり，Q - を通り，線分 QQ - と直交する直線を ^と
する。C 上の点 P を行列 B =
8
1 -a
1
a
9
で表される移動によって移した点を P - とする
とき，P - から Q までの距離と P - から ^までの距離が等しくなるような a の値を求め
よ。
解説
(1)　点 P の座標を 0 t，t 21 (t は実数) とする。
8 98 9 8
t
a
b
c
d t2
2
=
9
at + bt 2
ct + dt 2
2
点 0at + bt ，ct + dt 1 は C 上にあるから　ct + dt 2 = 0 at + bt 21 2
すなわち　b 2t 4 +2abt 3 + 0 a 2 - d1 t 2 - ct =0
これがすべての実数 t について成り立つから
b 2 =0 ，2ab=0 ，a 2 - d =0 ，-c =0
よって，求める条件は　b = c =0，d = a 2
(2)　直線 QQ- の傾きは -1 であるから，直線 ^の方程式は
y - 0 -1 1 =1 ･ 0 x -1 1 ゆえに　x - y -2=0
また，P 0 t，t 21 (t は実数) とすると，点 P - の座標は
8
1 -a
1
a
98 9 8
t
t2
=
9
t - at 2
t + at 2
から　P - 0t - at 2，t + at 21
したがって，P-Q= 0 P- と ^との距離 1 となるための条件は
2
2
t - at 1 - 0 t + at 1 - 2
U 0t - at 2 + 11 2 + 0 t+ at 2 - 11 2 = 0
U 1 2 + 0 -1 1 2
ゆえに　U 26a 2t 4 + 0 1 - 2a 1t 2 + 17 = U 2 at 2 +1
両辺を 2 乗して整理すると　0 1 -4a1t 2=0
よって　t =0 または a =
1
4
したがって　t =0，すなわち P が原点のとき　a は任意の実数
t ' 0，すなわち P が原点でないとき　a =
1
4