行列方程式 = dc ba A OEbc ad Ada A = - + + - ) ( ) ( 5 ,3 =
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行列方程式 = dc ba A OEbc ad Ada A = - + + - ) ( ) ( 5 ,3 =
行列方程式 ◇行列方程式をケーリー・ハミルトンの定理で次数下げし 1次の方程式に帰着 a b のとき(前提条件) c d A トレース 解 ( a d よって, a d 反例 a 2, b A2 3, ad 0, c 0, d 2 次の行列方程式 (a a d d ) A (ad bc ) E s とおくと A O O を得る. t t (3 t ) s s 3 t 3 かつ ad bc 2 」は偽 4 2 次の行列方程式が C.H. の 次 数 下 げ 定 理 によ っ て同値な 1次 の 行列方程式に帰着され た 特に の確認を O を解け O ① だから d ) A (ad bc) E d 3) A (ad bc d 3 または A bc 2 q 0; A E a d 3 p よって ⅰ) なる A ad bc 2 a b ad bc 2 または ⅱ) A E なる A a d 3 c d t, b O = 2E は 4, ad bc 3A 2E 3A 2E ⅰ)から a bc ) E 3 A 5E 0 2 O ② ⇔ (a pA qE O ⇔ (a ⅰ) p q 0 A は任意 a ⇔ ⅱ) p 0, q 0 解なし ad ⅲ) p 3A 2E d ) A (ad 2 0 2 のときつまり A a b のとき、 A 2 c d A a b 2 のとき A c d A2 (a A2 3 A 2E O ⇒(ならば例外なく) a d O を満たすが 3A 2E ⇒ 2 5 を代入して A 2 bc a b 2 のとき「 A c d は偽) A 解1 A bc a b 2 のとき,C.H.の定理より A c d )A ( かつ 行列式 ad 3 ①かつ②⇔①かつ③ 3 A 2E ③ 2) E O 1次に次数下げ 同値な1次 の行列方程式に帰着する ad bc 2 E (a d a d 3 3) 1次の行列方程式を トレースが0となるものとなら ないもので場合分けして解く a b c d ただし a ( t, s は任意の実数) d 3 0 行列の 成分を求めるの だから、2つの 文字 s,t で表現 a b ad bc 2 1 0 より c d a d 3 0 1 b 0 A kE の形(必要条件)として c 0 ad 2 A2 3A 2E O に 代 入 し k a a 2 3a 2 0 a d 3 を確定する解答例が多い ad 2 d d 2 3d 3 0 a d 3 a d 3 0 , a 1,2 d 1,2 より (a, d ) (1,1), (2,2) ⅱ)から A ⅰ)ⅱ)まとめて A t t (3 t ) s s 3 t ( t, s は任意の実数)、 A E ,2 E ・・・(答) [行列と係数比較] (誤) A :2次の正方行列 , p, q, p' , q' 解2 pA qE p' A q' E p p' A kE (正) A :2次の正方行列 R のとき q q' , p, q, p' , q' R のとき q' pA qE p ' A q ' E p p' q (誤) A :2次の正方行列 p, q, p' , q' R のとき A 2 pA qE A 2 p ' A q' E p p' q q' 求める解を A kE のものと それ以外のものと kE の形の解を求める で分けて求めることにする A kE のもとで 2 2 A 3 A 2 E O ⇔ (kE ) 3kE 2 E O ⇔ (k 2 3k 2) E O ⇔ k 2 3k 2 0 ⇔ k 1,2 ⇔ A E ,2 E イ) A kE のときの解を求める 何次であろうと1次まで落とす a b 2 すると C.H.の定理より A (a d ) A (ad bc ) E O ① A c d ア) A ① のもとで A2 O ② ⇔ A 2 3 A 2 E A 2 (a d ) A (ad bc ) E ③ ⇔ 3 A 2E (a d ) A (ad bc ) E a d 3 と同値 A kE のときは さらに ad bc 2 a d 3 a b (ア)(イ)合わせて すべての解は A E ,2 E と なる A ad bc 2 c d a b 2 解3 X とおくと X E の解は c d 3A 2E 成分で a b a c d c ②③からア. a イ. a ア.イから A2 そこで b = 1 d 0 0 a2 bc ab 1 ac cd bc 3A 2E O ⇔ (A E, E または 2 A 3E ゆえに A x v x u 0 ② (a d )c bc d 3 2 E) 2 a b 1 E だから (2 A 3E )2 4 2 0 ③ 1 ④ 1 (複号同順) E (a d 0, ad bc 1) c d b 1 a 3 E ,2 E , (a d 0, ad bc 1) d 3 2 c y とおくと ( a d v 1 (a d 2 1 ① d )b 0 のとき②③は満たされ,①④から ad bc 1 1, d 0 のとき②③から b 0, c 0 さらに①④から a d d 2 A 3E A bc (a a2 bd = 1 0 0 1 d2 6) 3 , xv 0, ad bc yu 1) より 1 {(a 3)(d 4 3) bc} 1 {ad 4 bc 3(a d ) 9} 2