立方体の平面切断・面積

立方体の平面切断・面積
図のような一辺の長さが１の立方体があり
3点0 a ,0 ,0 1 ,0 0,a ,0 1 , 0 0,0 ,a 1 を通る平面で
切断したときの切断面の面積をS 0 a 1 とする。
S 0 a 1 をaで表し最大値を求めよ。
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切断面が三角形から六角形そしてまた三角形に移り行く様を観察すると下図のようになります。
０≦ａ≦１
１≦ａ≦２
２≦ａ≦３
とくに六角形の場合を細かく見たのが次図です。この場合は大きな正三角形の面積から３すみの
正三角形の面積を引いて面積の式を求めることに気づかせると計算は容易に進みます。
ａ＝1.2
ａ＝1.5
i）0 (a ( 1 のとき　S 0 a 1 = 1 ･ 0U 2 a1 2sin60, ＝ U 3
2
2
ii）1 (a <2 のとき　S 0 a 1 =
＝
ａ＝1.8
a2
1
1
2
2
･ 2 a sin60, -3 % ･ 0U 2 0 a- 1 11 sin 60,
2 0U 1
2
U 3 a 2 - 3U 3 a - 1 2 - 3 a 2 +3 3 a - 3U 3 - 3 a - 3
＝ U
U
1 ＝ U
2
2 0
2
2
8
1
iii）2 ( a のとき　S 0 a 1 ＝ ･ 0U 2 0 3 - a 11 2sin 60, ＝ U 0 3 - a1 2
2
2
9+
2
3U 3
4
3
（グラフは右欄外）　最大値はa=
3U 3
3
のとき
4
2
Type-XH 3051001