チェバの定理 BD DC ・ CE EA ・ AF FB =1 メネラウスの定理 BF FC

分野：メネラウスの定理・チェバの定理
（
）組 （
）番
氏名（
）
例題
(1)ＡＦ：ＦＥを求めよ。
1
D
G
2
B
(2)ＢＰ：ＰＣを求めよ。
A
3
4
Q
R
4
2
O
A
F
4
E
C
3
B
(3)ＡＲ：ＲＢを求めよ。
P
C
(4)ＢＰ：ＰＣを求めよ。
A
A
Q
3
B
C
5
4
5
3
R
2
4
C
P
B
1
Q
O
R
P
解説
メネラウスの定理　BF CE AD
=1
･
･
FC EA DB
チェバの定理　BD CE AF
=1
･
･
DC EA FB
A
A
D
F
E
E
B
(1)
C
F
メネラウスの定理により
BC EF AD
7 EF 1
=1　よって　･
･
･
･ =1
CE FA DB
3 FA 2
ゆえに　EF
6
= したがって　AF：FE=7：6
FA
7
(3)
(2)
チェバの定理により　よって　C
D
BP CQ AR
=1
･
･
PC QA RB
BP 4 4
BP
3
=
･ ･ = 1 ゆえに　PC 3 2
PC
8
したがって　BP ： PC = 3 ： 8
(4)
AR BP CQ
=1
メネラウスの定理により　･ ･
RB PC QA
よって　B
AR 9 3
･ ･ =1　したがって　ＡＲ：ＲＢ＝4：9
RB 4 3
チェバの定理により　よって　BP CQ AR
=1
･
･
PC QA RB
BP 1 7
BP
10
=
･ ･ =1　ゆえに　PC 5 2
PC
7
したがって　BP：PC=10：7
演習問題
１
（
）組
（
）番
）
次の比を求めよ。
(1)ＢＲ：ＲＣを求めよ。
(2)ＢＰ：ＰＣを求めよ。
A
A
2
3
P
3
B
２
氏名（
5
R
2
Q
R
3
2
C
Q
6
O
B
P
C
△ＡＢＣの辺ＡＢの中点をＭ，線分ＣＭの中点をＮとする。直線ＡＮと辺ＢＣとの交点をＬとす
る。このとき，次の比を求めよ。
(1)
A
ＢＬ：ＬＣ
M
N
B
(2)
３
Ｌ
C
ＡＮ：ＮＬ
辺の長さが８の正三角形ＡＢＣがある。辺ＡＢ，ＡＣ上にＡＤ＝２，ＡＥ＝５となるように２点
Ｄ，Ｅをとり，２直線ＤＥ，ＢＣの交点をＦとする。このとき，ＣＦの長さを求めよ。
A
2
D
5
E
B
C
F
解説
１ (1)
メネラウスの定理により　よって　BR CQ PA
=1
･
･
RC QP AB
BR 2 3
･ ･ =1 したがって　ＢＲ：ＲＣ＝2：1
RC 2 6
(2)
チェバ の定理により　よって　BP CQ A R
=1
･
･
PC Q A RB
BP 6 2
BP
5
=
･ ･ = 1　ゆ え に PC 5 3
PC
4
し た が っ て BP ： PC = 5 ： 4
２ (1)
メネラウスの定理により
BL CN MA
=1
･
･
LC NM AB
よって　BL 1 1
･ ･ =1
LC 1 2
ゆえに　BL
=2
LC
したがって　BL ： LC = 2 ： 1
(2)
メネラウスの定理により
(1) より，
BC LN AM
=1
･
･
CL NA MB
BC
=3 であるから
CL
3 ･
よって　LN 1
･ =1
NA 1
LN
1
=
NA
3
したがって　AN：NL=3：1
３
CF= x とおくと　BF= x +8
メネラウスの定理
BF CE AD
=1
･
･
FC EA DB
よって　x+ 8 3 2
･ ･ =1
x
5 6
ゆえに　x =2
すなわち　CF=2