QUIZ1

【
QUIZ
①
】
（2012.10.17）
ある測定系が，次の伝達関数で示される入出力応答を持つ 2 次の線形システムでモデル化できるとき，
Kω n2
H ( s) = 2
s + 2ςω n s + ω n2
(0 ≤ ς < 1)
2ς
⎧t (t ≥ 0)
と
に対する応答 xo (t ) を求めなさい。また，定常的な応答遅れが， τ =
ωn
⎩ 0 (t < 0)
x (t )
1
=t−
sin ω n t になることを示しなさい。
なること，ならびに， ς = 0 の場合の応答が， o
K
ωn
ランプ波入力 xi (t ) = ⎨
[略解]
ランプ入力のラプラス変換は，
X i ( s ) = L[ xi (t )] = L[t ] =
1
s2
であるから，応答出力のラプラス変換は，
X o (s) = H (s) X i (s) =
Kω n2
Kω n2
1
1
⋅
=
⋅ 2
2
2
2
2
2
2
s + 2ςω n s + ω n s
( s + ςω n ) + (1 − ς )ω n s
となる。これを部分分数に分けると，
X o ( s)
2ς ω n ⋅ ( s + ςω n )
− 2ς ω n 1
2ς 2 − 1
=
⋅
+
+
+ 2
2
2
2
2
2
2
K
s
( s + ςω n ) + (1 − ς )ω n
( s + ςω n ) + (1 − ς )ω n
s
となるから，変換表に照らして逆変換すれば，応答は，
⎡ 2ς
⎤ 2ς
xo (t )
2ς 2 − 1
= e −ςωnt ⎢ cos ω n′ t +
sin ω n′ t ⎥ −
+t
ω n′
K
⎣ωn
⎦ ωn
(t > 0)
と求まる。なお，ここで ω n′ = 1 − ς ω n とおいた。
2
定常状態，すなわち十分時間がたてば，指数関数のかかる項は十分小さくなるから，
xo (t )
2ς
≅t−
K
ωn
となって，出力は入力に対して一定の遅れをもつことがわかる。また， ς = 0 のときの応答は，
xo (t )
1
=t−
sin ω n t
K
ωn
である。