テイラー展開の話

テイラー展開の話
鈴木啓一
1/14
自己紹介
現住所　山形県
年齢　５７歳
出身大学　新潟大学数学科
趣味・特技　数学、一般科学、スタートレック・・
研究分野　解析学（微積分）・複素関数論・数論少々
ホームページ　「こだわりハウス」
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/2061/
「数学月間の会」から参照可能
2/14
代数方程式の演算（高校生の問題１）
代数方程式の乗法・因数分解
問題例
(2 x2 + x + 3)(2 x2 − x + 3)を展開しなさい。
解答
t = 2 x 2 + 3 とおくと、
(2 x2 + x + 3)(2 x2 − x + 3) = (t + x)(t − x)
= t 2 − x2
= 4 x 4 + 12 x 2 + 9 − x 2
= 4 x 4 + 11x 2 + 9
3/14
高校生の問題２
問題例
x 5 − x + 1 を x 2 + x + 1 で割ったときの余りを求めよ
解答
余りを ax + b とおく。
因数定理より、 x = ω , x = ω のとき、 x − x + 1 = 0
5
2
x 3 = 1 という性質を使い、次数を下げて x 2 − x + 1 = 0 となる。
x = ω , ω 2 とおいて
aω + b = ω 2 − ω + 1
 2
aω + b = ω 4 − ω 2 + 1
の a, b の連立方程式を解く。
4/14
別解
(2 x2 + x + 3)(2 x2 − x + 3)
(x5 − x + 1) (x2 + x + 1)
循環小数のように計算したらどうなる？
もしかしたらテイラー級数？
5/14
計算１
1
(x + 1)(x + 3)
=
1
x2 + 4x + 3
1
1 4 13 40
= 2 − 3 + 4 − 5 + ⋅⋅⋅ 、 x > 3
( x + 1)( x + 3) x
x
x
x
主要部のみのローラン級数と一致した。
6/14
計算２
1
(x + 1)(x + 3)
=
1
x2 + 4x + 3
1
1 4
13 2 40 3
= − x+
x −
x + ⋅⋅⋅、 x < 1
( x + 1)( x + 3) 3 9
27
81
というテーラー級数と一致した。
赤い曲線部分を級数で表示した。
7/14
テイラー展開とは
x − a < r で f ( n) ( x ) が存在するならば、
f
(x ) = f (a) + f ′(a)
1!
( x − a)
f ( n −1) (a )
⋅⋅ +
(n − 1)!
f ( 2) ( a )
+
2!
( x − a)
( x − a) 2 + ⋅ ⋅
n −1
a = 0 として、（別名：マクローリン展開）
f ′(0)
f ( 2 ) ( 0) 2
f ( x ) = f ( 0) +
+
+ ⋅⋅
1!
2!
x
f ( n −1) (0)
⋅⋅ +
(n − 1)!
x
x
n −1
f ( n) (φ ) n
+
x ,φ <r
n!
応用
１
近似計算
２
関数が別表現できる
３
（複素数で）解析接続
f ( n) (φ )
+
( x − a) n , φ − a < r
n!
8/14
割算が、テイラー展開と一致することの証明の概要
a n x n + a n −1 x n −1 + ⋅ ⋅ + a1 x + a 0 A( x )
f ( x) =
=
n
n −1
B (x )
bn x + bn −1 x
+ ⋅ ⋅ + b1 x + b0
とおく。
代数方程式を、左に向かって割算すると、
a
c0 = 0 , d1,1 = c0 b1 , a1,1 = a1 − d1,1
b0
a1,1 a1 − c0 b1 a1b0 − a 0 b1
c1 =
=
=
b0
b0
b0 2
ところで、
A( 0 ) a 0
=
= c0
B ( 0 ) b0
f ′( 0 ) A′( 0 ) B ( 0 ) − A( 0 ) B ′( 0 ) a1b0 − a 0 b1
=
=
= c1
2
2
1!
B (0)
b0
f (0) =
テイラー展開の第 1・2 項の係数が一致する。
f ( k ) (0 )
= c k が成り立つことが証明できる。
数学的帰納法で、 k < n として、
k!
9/14
テイラー展開の応用例１、１
x3 x5 x 7
sin x = x −
+
−
+ ⋅⋅, x < ∞
3! 5! 7!
⇒
多項式による関数近似が可能
注：関数電卓の計算原理は CORDIC 法
3
5
7
x
x
x
tan −1 x = x −
+
−
+ ⋅⋅, x < ∞
3
5
7
⇒
π
 1 1 1

= tan 1 、より、 π = 41 − + − + ⋅ ⋅ 
4
 3 5 7

−1
円周率が、級数で計算できる。
10/14
応用例１、 ２
例：円周率を１億桁計算しました
大きい桁数の計算原理
問題点
解決策
普通のかけ算
１００進法の計算、桁の繰上げに注意
11/14
応用例１、３ π × e, 小数20桁を１万進法で計算する
３８４６×３５３６
＝１３５９，９４５６
７９３２×３５３６＋１３５９
＝２８０４，８９１１
12/14
応用例２
オイラーの公式
3
5
 x2 x4
 

x
x
cos x + i sin x = 1 −
+
− ⋅ ⋅  + i x −
+
− ⋅ ⋅

 

2
!
4
!
3
!
5
!

 

(
ix )2 (ix )3 (ix )4
= 1 + (ix ) +
+
+
+ ⋅⋅
2!
3!
= eix
∴ eix = cos x + i sin x
x = π 、とおくと、 eiπ + 1 = 0 、と
いう有名な式ができる。
視覚的には、「複素平面で単位円
を描き、偏角 π のおける座標
は − 1 である」と解釈できる。
13/14
4!
ご清聴ありがとうございました
14/14