資料4

講義内容
周波数応答
ラプラス変換
Bode線図
周波数特性の解析
Ex. 一次系の周波数応答 ・・・定常応答を調べる
y(t)
u(t)
u(t)=
ωt
u=
A Asin
sin ωt
φ
∆T = −
ω
A B
t
at
y(t) = ce x0 (t) + c
!
y =y=BBsin(
sin(ωt
ωt + ϕ+
) φ)
t
0
a(t−τ )
e
a < 0 と仮定する
bu(τ )dτ
Bode線図は見覚えある...
y(t)
u(t)
Bode Diagrams
20
10
0
-10
ẍ(t) + 0.2ẋ(t) + x(t) = u(t)
-20
-30
-40
0
-50
-100
2
-150
1
-200 -1
10
10
0
Frequency (rad/sec)
10
1
0
-1
-2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
5
0
-5
1
0.5
0
-0.5
-1
周波数領域の表現
!
dx(t)
dt
=
ax(t) + bu(t), x(0) = x0
y(t)
=
cx(t)
ラプラス変換すると
sX(s)
=
aX(s) + X0 + bU (s)
X(s)
=
Y (s)
=
(s − a)
cX(s)
−1
X0 + (s − a)
−1
bU (s)
Y (s) =
c
s−a
X0 +
X0 = 0 とおくと
Y (s) =
cb
s−a
cb
s−a
U (s)
U (s)
入力 u(t) から出力 y(t) までの伝達関数 G(s) は
G(s) =
Y (s)
U (s)
ブロック線図で表すと
U (s)
cb
=
cb
s−a
Y (s)
s−a
s = jω として G(jω) を周波数伝達関数と呼ぶ．
a < 0 のとき u(t) = A sin ωt に対する応答を求める
v(t) = A cos ωt + jA sin ωt = Ae
jωt
を入力とする
応答 y(t) は次のように計算できる
! t
at
a(t−τ )
jωτ
yv (t) = ce x0 + c
e
bAe
dτ
0
= ce x0 +
at
cbA
! jωt
"
at
e
−e
jω − a
t −→ ∞ のとき a < 0 であるから
=
cbA
jω − a
jωt
e
= G(jω)Ae
!
!
! cb ! j∠ cb
jω
!
!
jω−a
=!
e
Ae
!
jω − a
jωt
極座標表現
!
!
! cb !
cb
j
ωt+∠
!
! Ae (
jω−a )
! jω − a !
=
=
j(ωt+∠G(jω))
|G(jω)| Ae
|cb|
−1 ω
j (ωt+tan
)
a
Ae
√
ω 2 + a2
=
周波数応答
yu (t) = √
|cb|
!
A sin ωt + tan
−1
ω
a
ω 2 + a2
= |G(jω)|A sin (ωt + ∠G(jω))
=φ
=B
"
Bode線図の求め方
周波数応答実験により |G(jω)| と∠G(jω) のデータを得る
ω
0.1
0.2
・
・
・
G( jω )
×
G( jω )
Bode Diagrams
20
10
×
0
-10
×
×
・
・
×
・
・
・
-20
-30
-40
0
グラフ化
-50
-100
-150
|cb|
-200
10-1
100
101
|G(jω)| = √
ω 2 + a2
−1 ω
∠G(jω) = φ(t) = tan
(cb > 0)
a
−1 ω
= −π + tan
(cb < 0)
a
Frequency (rad/sec)
周波数領域でのシステム表現の意義は？
伝達関数が与えられて（全てのパラメータが既知）Bode
線図を描くことは稀
実際には…
ある実システムが存在して，なにか入力を加えれば
システムが不安定（発散，壊れる）になることなく，
定常的な出力を観測することが出来る．
Bode線図を描き，システムのパラメータ
を求める（知る）ことができる．
y(t)
u(t)
un (t) = A sin ωn t
yn (t) = B sin(ωn t + ϕn )
2
1
0
-1
-2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
5
0
-5
|G(jω)| =
B
A
20 log10 |G(jω)|[dB]
1
0.5
∠G(jω) = φ(t)
0
Bode Diagrams
-0.5
20
-1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
10
0
-10
ẍ(t) + 0.2ẋ(t) + x(t) = u(t)
G(s) =
1
-20
-30
-40
0
-50
-100
s2 + 0.2s + 1
-150
-200 -1
10
100
Frequency (rad/sec)
101