) log(cos2 x y = x y tan2 − =′ x xuxu y cos )(),(ln = = x x x x xx x x u
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) log(cos2 x y = x y tan2 − =′ x xuxu y cos )(),(ln = = x x x x xx x x u
第3章演習問題 [1]次の関数を微分せよ。 (8) y = log(cos x) 2 (※略解→ y ′ = −2 tan x ) Q. 導き方がわかりません。 A. y = ln u ( x), u ( x) = cos 2 x として合成関数の微分法を使います。 dy dy du = dx du dx 1 = ⋅ (2 cos x ⋅ (− sin x)) u cos x sin x = −2 cos 2 x sin x = −2 cos x = −2 tan x (11) y = 8 x x 3 (※略解→ y ′ = 8 ( x log 8 + 3 x ) ) x 3 2 Q. 対数微分が少しわかりません。 A. 51 ページの説明と同じですが、 f (x) の導関数を導くときに、 ln f (x) を微分する と計算が楽になることがあります。 d d df 1 df ln f = ln f = dx df dx f dx なので、 ln f の導関数に f をかけると, (12) y = x − arcsin df / dx と同じものとなります。 x a a2 − x2 2 2 2 −3 / 2 (※略解→ y ′ = x ( a − x ) ) Q. A. 略解を見ても答えしか書いていなく、解き方がわかりませんでした。 x [イ]: y = a2 − x2 の導関数と、[ロ]: arcsin [イ]は u ( x) = x, v( x) = x の導関数を別々に求めて引算します。 a a 2 − x 2 とおけば u ( x) / v( x) の導関数を求める作業です から 48 ページ公式(iv)が利用できます。ただし分母に来る v(x) の導関数は別途計算しま す: w( x) = a − x とおけば、 w なる関数の(合成か関数の)微分公式を利用できます。 2 2 [ロ]は u = x / a とおけば arcsin u の導関数の(合成関数の)微分です。教科書 49 ページを参考にして微分演算をします。 b tan x a 2 2 2 2 (※略解→ y ′ = ab /( a cos x + b sin x) ) (13) y = arctan Q. 解答の導き方がわかりません。 A. u = (b / a) tan x とおいて合成関数の微分法を使います。 dy dy du = dx du dx 1 b 1 = ⋅ ⋅ 2 1 + u a cos 2 x 1 b 1 = ⋅ ⋅ 2 2 1 + (b / a ) tan x a cos 2 x b/a = 2 cos x + (b / a) 2 tan 2 x cos 2 x ab = 2 2 a cos x + b 2 sin 2 x [3]数学的帰納法を用いて、ライプニッツの公式 ( fg ) ( n ) = f ( n ) g + n C1 f ( n −1) g ′+ n C 2 f ( n − 2) g ′′ + " + n C r f ( n −r ) g ( r ) + " + fg ( n ) を証明せよ。 (※略解→ ( fg ) ′ = f ′g + fg ′ であるから、証明すべき式は n=1 のとき成り立っている。n=k ま で成り立っていると仮定すれば ( fg ) ( k ) = f (k ) g + k C1 f ( k −1) g ′ + "+ k C r f (k − r ) g ( r ) + " + fg ( k ) この式を x で微分して、 ( fg ) ( k +1) = f ( k +1) g + (1+ k C1 ) f (k ) g ′ + " + ( k C r −1 + k C r ) f (k +1− r ) g ( r ) + " + fg ( k +1) ところが k C r −1 + k C r = k +1 C r であるから ( fg ) ( k +1) = f ( k +1) g + k +1 C1 f (k ) g ′ + "+ k +1 C r f (k +1− r ) g ( r ) + " + fg ( k +1) t よって数学的帰納法により、証明すべき式は任意の自然数について成り立つ。) Q. ライプニッツの公式が数学的帰納法を使えば成立する、と言えることはわかるの ですが、 ( fg ) (n) = f ( n ) g + n C1 f ( n −1) g ′+ n C 2 f ( n − 2) g ′′ + " + n C r f ( n −r ) g ( r ) + " + fg ( n ) の式はどっからでてきたのですか?勘で式を書いてみて、数学的帰納法でやってみたら、 成立してしまった・・・と言う訳ではないですよね? A. 1階導関数、2階導関数、と進んでいくと「勘が働く」のは自然なことで、それ でよいのではないかと思っています。一般のnについてこの命題を証明するには帰納法以 外ないように思われます(もしほかの証明を知っていたら教えてください)。ひるがえって、 二項定理の証明も帰納法によらないものを(不勉強のせいか)見たことがありません。た だし、このライプニッツの公式を、見通しよく「なるほど」と思えるようになるには、微 分演算子を定義するとよいと思います。 [4]次の関数のn次導関数を求めよ。 Q. n次導関数ってどうやって求めるのでしたっけ? A. 「もとの関数を微分すると 1 次導関数が得られ、1 次導関数を微分すると 2 次導関 数となり、…ですから、n次導関数は『もとの関数をn回微分する』ことで得られます」 というのがn次導関数の定義です。定義がそのまま計算に利用できるときもありますが、 一般には何回か(3 回とか 4 回とか)微分してみて「一般的にはn次導関数は、こんなだろ う」とあたりをつけ、その推論を数学的帰納法で証明したりします。 (1) y = 1 x (※略解→ y ( n ) = (−1) n n! x n +1 ) Q. やり方がわかりません。 A. u ′v − uv ′ u 1 1 を 1 回微分すると − 2 です。これは = において u = 1, v = x と x v2 v x ′ おけばよいです。さらに微分すると、今度は u = −1, v = x 2 とおいて 度か微分すると、たぶん一般的な項として (−1) n n! x n +1 2 x3 となります。もう何 を予測することでしょう。そうしたら、 数学的帰納法にお世話になります。すなわち、n 次導関数が f (n) = ( −1) n n! x n +1 であると仮定し、それを用いて(この式をもう一度微分して) f ( n +1) = (−1) ( n +1) (n + 1)! x n+ 2 を導けることを示すのです。 (この微分演算は、v = x n+1 とおいて v n +1の微分が(n + 1)v n である ことを知っていれば、簡単でしょう。)したがって、一般の n について予測は正しいことが わかりました。 (2) y = a x (a > 0) (※略解→ y ′ = a x log a, y ′′ = a x (log a ) 2 一般に、y ( n ) = a x (log a ) n ) Q. 対数微分がよくわかりません。 A. y = a x に対数微分を使いましょう。すなわち ln y = x ln a を微分すると y′ = ln a y だから y′ = y ln a = a x ln a この両辺を微分すると y (2) = (a x )′ ln a = y′ ln a つまりy ( n )に ln aをかけると y ( n +1)になる" ので y ( n+1) = (ln a) y ( n ) = (ln a)2 y ( n−1) = ... = (ln a)n y (3) y = x 2 e x (※略解→ (e x ) ( n ) = e x , ( x 2 ) ′ = 2 x, ( x 2 ) ′′ = 2, ( x 2 ) ( n ) = 0(n ≥ 3) .ライプニッツの公式より n n ( x 2 e x ) ( n ) = (e x ) ( n ) x 2 + (e x ) ( n −1) ( x 2 ) ′ + (e x ) ( n − 2) ( x 2 ) ′′ 2 1 n(n − 1) x = e x x 2 + ne x ⋅ 2 x + e ⋅ 2 = e x {x 2 + 2nx + n(n − 1)} 2 ) Q. 略解の意味がわかりません。 A. まず「n次導関数」と「n階導関数」が同じもののであることを確認しておきま しょう。この問題は「すぐ上のライプニッツの公式をつかってごらんなさい」と言ってい ます。 略解をなぞりましょう。まず (e x ) ( n ) = e x x x すなわち (e の x 乗)は1回微分すると同じ e になるから何度微分しても e になります。 次に ( x 2 ) ( n ) = 2 x n = 1 = 2 n = 2 = 0 n ≥ 3 f = e x , g = x 2 とし、ライプニッツの公式にこれらを代入します。g の導関数は 3 次以上 が 0 になることから、最初の3項だけが残り n(n − 1) を思い出すと 2 ( e x x 2 ) n = e x x 2 + ( n C 1 ) e x 2 x + ( n C2 ) e x 2 ( n C1 ) = n, ( n C2 ) = = e x ( x 2 + 2nx + n(n − 1)) となります。 Q. [3]のライプニッツ公式はここで使うのか! x 2 と e x だったら、微分しても形がかわ らない e x をf、微分に限りのある x 2 を g とおくことが、ライプニッツ公式をわかりやすく するポイントですね。! A. そうですね。上手に使ってください。 [5]助変数表示の微分 (1) x = a cos t , y = b sin t dy b cos t b = = − cot t ※略解 → dx − a sin t a Q. cot とは何の略ですか?私にはまだ見慣れないものですが、普通の cos や tan 同じ ように使ってもいいですか? A. 定義のようにタンジェント(tangent)の逆数のことで、コタンジェント(cotangent) と読みます。接頭語の co は「共にある」といった意味で、昔はサイン(sine)とコサイン (cosine)をセットで、タンジェントとコタンジェントをセットで考えたのでしょう。ちな みに、コサインの逆数を secant(sec と略、セカント)と表し、サインの逆数を cosecant(cosec と略、コセカント)と表し、これらもしばしば用います。 Q. a 答えは − ⋅ tan t だと思うのですが? b A. 教科書の答えであっていると思います。 dy = b cos t , dx = −a sin t , dy b 1 =− dx a tan t [7]次の関数の極値を求め、そのグラフの概形をかけ。 (2) f ( x) = xe x Q. f ( x) = xe x , lim f ( x) = 0( x → −∞ ) は、厳密にはどうやって証明したらよいでしょうか。 高校までは、 y = xとy = e x 関数の強さを比較して強い方が勝つという覚え方をしましたが。 A. まさに「強い方」が勝つわけです。それを数学的に表しているのが e x のテーラー 展開でしょう。x < 0 において xe x を考察するとき、 e x の項の取り扱いが混乱すると困るの で、|x|=zとおいて − ze (− z) =− z ez とします。 e z をテーラー展開します。どのようなzに対しても e z は z=0 のまわりに展開で きることが重要です(なぜなら z→∞にするから)。 z ez = z (1 + z + z 2 / 2 + z 3 / 3!+ ") = 1 1 / z + 1 + z / 2 + z 2 / 3!+ " この分母の第三項目より後ろが∞に発散するため、極限は負の方から 0 に近づきます。 (3) f ( x) = x+4 x + 2x + 3 2 Q. 答がうまくでないのですが解答はあってますよね? A. あってます。 (2),(3) Q. 極値はわかりましたが、図がイメージできません。 A. グラフのおおよその形を描くとき、まず関数をパーツに分けます。たとえば xe x で あれば xとe x です。そしてパーツごとにグラフを描きます。この場合には y = xとy = e x です。 そ れ ぞ れ の グ ラ フ が 通 過 す る 点 に つ い て 、 要 点 を お さ え ま し ょ う 。 前 者 で は (-1,-1), (0,0),(1,1)と後者では(-1,1/e),(0,1),(1,e)程度でよいと思います。また e の値 2.7...は、3 ぐ らいにしておいても構いません。各関数の値の積を作れば、 xe x が通過する点が x 1 (−1, − ) → (−1, − ), (0, 0), (1, e) e e などとなります。あとは無限遠での様子を知りたいでしょうから、 lim xe xのx → ±∞ の両極 限を追加します。x<0 では xe x = x / e | x| となるので、( e x のマクローリン展開をみればわか るように)0 に収束します。また x>0 では無限大に発散します。 [8] ボートに乗った人がP点にいる。P点にはまっすぐな海岸の最近点Aより 6km沖にあ る。A点から海岸に沿って 8km離れたB点にできるだけ早く到着したい。ボートをこく速 度は毎時 2km、歩く速度は毎時 5kmとして、どの地点Cに上陸すればよいか求めよ。 (※略解→AC=x とする。 PC = 36 + x 2 だから、要する時間 t1 = 36 + x 2 / 2. CB = 8 − x だか ら、要する時間 t 2 = (8 − x) / 5. 要する時間の全体は T = t1 + t 2 = 36 + x 2 / 2 + (8 − x) / 5. dT / dx = x / 2 x 2 + 36 − 1 / 5 = 0よりx = 12 / 21 = 2.75 で T は最小値をとる。結局A点より約 2.75km の地点に上陸すればよい。) Q. 何で、 x / 2 x 2 + 36 − 1 / 5 = 0 なのですか? A. この「0」は dT/dx = 0 の意味です。すなわち「dT/dx を計算すると x / 2 x 2 + 36 − 1 / 5 となるが、Tが最小(極小)になるxでは dT/dx = 0 となるので、そのxは x / 2 x 2 + 36 − 1 / 5 を 0 とする」ということを短く書いてしまったのです。 [10] x2 x3 x4 x5 + − + (0 < ϑ < 1) を示せ。 2 3 4 5(1 + ϑx) 5 (1) log(1 + x) = x − (※略解→ f ( x) = log(1 + x), f f ( 4) = −2 ⋅ 3, f ( 5) (n) ( x) = (−1) n +1 (n − 1)! /(1 + x) n より、f (0) = 0, f ′(0) = 1, f ′′(0) = −1, f ′′′(0) = 2, = 2 ⋅3⋅ 4 これらをマクローリン展開の式に代入して証明すべき式を得る。) Q. (1) の解答の部分で f(x)の n 次導関数の式 f (n) ( x) = (−1) n +1 (n − 1)! /(1 + x ) n はどこから 出てきたのですか? A. テーラー展開(マクローリン展開)の剰余項の一般式が 66 ページの式 (3.40)となるから、 R n +1 に対して f の(n+1)階導関数が現れます。f=ln(1+x)なので、 f ′ = [ln(1 + x)]′ = 1 /(1 + x), f ′′ = −1 /(1 + x) 2 この演習の[4](1)を使えば、目的に到達するはず。 (2)上の結果を使い、log1.1 を計算し誤差を評価せよ。 (※略解→ log 1.1 = 0.1 − (0.1) 2 / 2 + (0.1) 3 / 3 − (0.1) 4 / 4 = 0.09531. 誤差は(0.1) 5 / 5 = 2 × 10 −6 より小 さい。) Q. log1.1 の値は求めたのですが、誤差の評価の仕方がわかりませんでした。 A. (1)の展開式の x 4 の項までで打ち切り、x=0.1 とおいてその値を計算したのですか 5 5 ら、 x / 5(1 + ϑx) がないと正しい式になりません。すなわち、この剰余項が打ち切り誤差 の見積もりを与えます。θは 0 と 1 の間のどこかにありますが、剰余項の分母にあるため、 またxの値が正であるため、θを 0 としたものより剰余項が大きくなることはありません。 そこで x 5 / 5(1 + ϑx) 5 でθ=0 とおき、x=0.1 とおいて計算すれば、誤差の大きさの安全宣言と なります。 なぜに剰余項 R の項数が n+1 だったのかやっとわかりました。この問いでは n=4 Q. までマクローリン展開し、剰余項については定義式に代入して x 5 / 5(1 + ϑx) 5 を導いている、 そういう流れなのですね。テイラーの定義って実は剰余項の置き方がすばらしいのでは? という気がしてきました。 解答の「誤差は...より小さい」この誤差はθの入った剰余項とそれに一番近い数を 比較しているという意味ですね? A. 「一番近い数」という意味が「誤差が、それよりは大きくないというぎりぎりの 数」ということであれば、その通りです。 [11](1) ( x − a) 2 ( x − a) n nπ sin a + " + sin a + 2! 2 n! 1 n +1 ( x − a ) n +1 sin a + ϑ ( x − a ) + = π (0 < ϑ < 1) (n + 1)! 2 sin x = sin a + ( x − a ) cos a − R n +1 (※略解→ f ( x) = sin x, f (n) + R n +1 を示せ。 n ( x) = sin x + π をテイラー展開の式に代入して、証明すべき式を 2 得る。) Q. 略解を見ても、よく理解できませんでした。 A. f(x) = sin(x) を x = a でテーラー展開した式そのままに見えますが、どこが理解 できなかったのかな? (2)上の結果を使い sin62°を少数 5 桁まで求めよ。 (※略解→a=60°=π/3,x=62°=62π/180 にとる。x-a=π/90。よって(1)より sin 62° = sin 60° + π 90 2 cos 60° − 2 3 1π 1π sin 60° − cos 60° + " 2 90 3! 90 3 1 1π 1 π 1 π = 3 + − 3 − + " = 0.88295 2 2 90 4 90 12 90 ) Q. a=60 のするのはどうしてですか? A. 62 度のところのサインの値を求めるとき、これに近い角度で、しかもよく知られ た 60 度の値を使おうとしただけです。