) log(cos2 x y = x y tan2 − =′ x xuxu y cos )(),(ln = = x x x x xx x x u

第３章演習問題
[1]次の関数を微分せよ。
(8) y = log(cos x)
2
(※略解→ y ′ = −2 tan x )
Q.
導き方がわかりません。
A.
y = ln u ( x), u ( x) = cos 2 x として合成関数の微分法を使います。
dy dy du
=
dx du dx
1
= ⋅ (2 cos x ⋅ (− sin x))
u
cos x sin x
= −2
cos 2 x
sin x
= −2
cos x
= −2 tan x
(11) y = 8 x
x
3
(※略解→ y ′ = 8 ( x log 8 + 3 x ) )
x
3
2
Q.
対数微分が少しわかりません。
A.
51 ページの説明と同じですが、 f (x) の導関数を導くときに、 ln f (x) を微分する
と計算が楽になることがあります。
d
d
df
1 df
ln f =
ln f
=
dx
df
dx f dx
なので、 ln f の導関数に f をかけると,
(12) y =
x
− arcsin
df / dx と同じものとなります。
x
a
a2 − x2
2
2
2 −3 / 2
(※略解→ y ′ = x ( a − x )
)
Q.
A.
略解を見ても答えしか書いていなく、解き方がわかりませんでした。
x
[イ]: y =
a2 − x2
の導関数と、[ロ]: arcsin
[イ]は u ( x) = x, v( x) =
x
の導関数を別々に求めて引算します。
a
a 2 − x 2 とおけば u ( x) / v( x) の導関数を求める作業です
から 48 ページ公式（iv）が利用できます。ただし分母に来る v(x) の導関数は別途計算しま
す: w( x) = a − x とおけば、 w なる関数の（合成か関数の）微分公式を利用できます。
2
2
[ロ]は u = x / a とおけば arcsin u の導関数の（合成関数の）微分です。教科書 49
ページを参考にして微分演算をします。
b

tan x 
a

2
2
2
2
(※略解→ y ′ = ab /( a cos x + b sin x) )
(13) y = arctan
Q.
解答の導き方がわかりません。
A.
u = (b / a) tan x とおいて合成関数の微分法を使います。
dy dy du
=
dx du dx
1
b
1
=
⋅ ⋅
2
1 + u a cos 2 x
1
b
1
=
⋅ ⋅
2
2
1 + (b / a ) tan x a cos 2 x
b/a
=
2
cos x + (b / a) 2 tan 2 x cos 2 x
ab
= 2
2
a cos x + b 2 sin 2 x
[3]数学的帰納法を用いて、ライプニッツの公式
( fg ) ( n ) = f ( n ) g + n C1 f ( n −1) g ′+ n C 2 f ( n − 2) g ′′ + " + n C r f ( n −r ) g ( r ) + " + fg ( n )
を証明せよ。
(※略解→ ( fg ) ′ = f ′g + fg ′ であるから、証明すべき式は n=1 のとき成り立っている。n=k ま
で成り立っていると仮定すれば
( fg ) ( k ) = f
(k )
g + k C1 f
( k −1)
g ′ + "+ k C r f (k − r ) g ( r ) + " + fg ( k )
この式を x で微分して、
( fg ) ( k +1) = f
( k +1)
g + (1+ k C1 ) f
(k )
g ′ + " + ( k C r −1 + k C r ) f (k +1− r ) g ( r ) + " + fg ( k +1)
ところが k C r −1 + k C r = k +1 C r であるから
( fg ) ( k +1) = f
( k +1)
g + k +1 C1 f
(k )
g ′ + "+ k +1 C r f (k +1− r ) g ( r ) + " + fg ( k +1) ｔ
よって数学的帰納法により、証明すべき式は任意の自然数について成り立つ。）
Q.
ライプニッツの公式が数学的帰納法を使えば成立する、と言えることはわかるの
ですが、 ( fg )
(n)
= f ( n ) g + n C1 f ( n −1) g ′+ n C 2 f ( n − 2) g ′′ + " + n C r f ( n −r ) g ( r ) + " + fg ( n )
の式はどっからでてきたのですか？勘で式を書いてみて、数学的帰納法でやってみたら、
成立してしまった･･･と言う訳ではないですよね？
A.
１階導関数、２階導関数、と進んでいくと「勘が働く」のは自然なことで、それ
でよいのではないかと思っています。一般のｎについてこの命題を証明するには帰納法以
外ないように思われます（もしほかの証明を知っていたら教えてください）。ひるがえって、
二項定理の証明も帰納法によらないものを（不勉強のせいか）見たことがありません。た
だし、このライプニッツの公式を、見通しよく「なるほど」と思えるようになるには、微
分演算子を定義するとよいと思います。
[４]次の関数のｎ次導関数を求めよ。
Q.
ｎ次導関数ってどうやって求めるのでしたっけ？
A.
「もとの関数を微分すると 1 次導関数が得られ、1 次導関数を微分すると 2 次導関
数となり、…ですから、ｎ次導関数は『もとの関数をｎ回微分する』ことで得られます」
というのがｎ次導関数の定義です。定義がそのまま計算に利用できるときもありますが、
一般には何回か（3 回とか 4 回とか）微分してみて「一般的にはｎ次導関数は、こんなだろ
う」とあたりをつけ、その推論を数学的帰納法で証明したりします。
(1) y =
1
x
(※略解→ y ( n ) =
(−1) n n!
x n +1
)
Q.
やり方がわかりません。
A.
u ′v − uv ′
u
1
1
を 1 回微分すると − 2 です。これは   =
において u = 1, v = x と
x
v2
v
x
′
おけばよいです。さらに微分すると、今度は u = −1, v = x 2 とおいて
度か微分すると、たぶん一般的な項として
(−1) n n!
x n +1
2
x3
となります。もう何
を予測することでしょう。そうしたら、
数学的帰納法にお世話になります。すなわち、n 次導関数が
f
(n)
=
( −1) n n!
x n +1
であると仮定し、それを用いて（この式をもう一度微分して）
f
( n +1)
=
(−1) ( n +1) (n + 1)!
x n+ 2
を導けることを示すのです。
（この微分演算は、v = x
n+1
とおいて v n +1の微分が(n + 1)v n である
ことを知っていれば、簡単でしょう。）したがって、一般の n について予測は正しいことが
わかりました。
(2) y = a x (a > 0)
(※略解→ y ′ = a x log a, y ′′ = a x (log a ) 2 一般に、y ( n ) = a x (log a ) n )
Q.
対数微分がよくわかりません。
A.
y = a x に対数微分を使いましょう。すなわち
ln y = x ln a を微分すると
y′
= ln a y
だから y′ = y ln a = a x ln a
この両辺を微分すると
y (2) = (a x )′ ln a = y′ ln a
つまりy ( n )に ln aをかけると y ( n +1)になる"
ので
y ( n+1) = (ln a) y ( n ) = (ln a)2 y ( n−1) = ... = (ln a)n y
(3) y = x 2 e x
(※略解→ (e x ) ( n ) = e x , ( x 2 ) ′ = 2 x, ( x 2 ) ′′ = 2, ( x 2 ) ( n ) = 0(n ≥ 3) .ライプニッツの公式より
 n
n
( x 2 e x ) ( n ) = (e x ) ( n ) x 2 +  (e x ) ( n −1) ( x 2 ) ′ +  (e x ) ( n − 2) ( x 2 ) ′′
 2
1 
n(n − 1) x
= e x x 2 + ne x ⋅ 2 x +
e ⋅ 2 = e x {x 2 + 2nx + n(n − 1)}
2
)
Q.
略解の意味がわかりません。
A.
まず「ｎ次導関数」と「ｎ階導関数」が同じもののであることを確認しておきま
しょう。この問題は「すぐ上のライプニッツの公式をつかってごらんなさい」と言ってい
ます。
略解をなぞりましょう。まず
(e x ) ( n ) = e x
x
x
すなわち (e の x 乗)は１回微分すると同じ e になるから何度微分しても e になります。
次に
( x 2 ) ( n ) = 2 x n = 1
= 2 n = 2
= 0 n ≥ 3
f = e x , g = x 2 とし、ライプニッツの公式にこれらを代入します。g の導関数は 3 次以上
が 0 になることから、最初の３項だけが残り
n(n − 1)
を思い出すと
2
( e x x 2 ) n = e x x 2 + ( n C 1 ) e x 2 x + ( n C2 ) e x 2
( n C1 ) = n, ( n C2 ) =
= e x ( x 2 + 2nx + n(n − 1))
となります。
Q.
[3]のライプニッツ公式はここで使うのか！ x 2 と e x だったら、微分しても形がかわ
らない e x をｆ、微分に限りのある x 2 を g とおくことが、ライプニッツ公式をわかりやすく
するポイントですね。！
A.
そうですね。上手に使ってください。
[5]助変数表示の微分
(1)
x = a cos t , y = b sin t
dy
b cos t
b


=
= − cot t 
※略解 →
dx
−
a
sin
t
a


Q.
cot とは何の略ですか？私にはまだ見慣れないものですが、普通の cos や tan 同じ
ように使ってもいいですか？
A.
定義のようにタンジェント(tangent)の逆数のことで、コタンジェント(cotangent)
と読みます。接頭語の co は「共にある」といった意味で、昔はサイン（sine）とコサイン
（cosine）をセットで、タンジェントとコタンジェントをセットで考えたのでしょう。ちな
みに、コサインの逆数を secant(sec と略、セカント)と表し、サインの逆数を cosecant（cosec
と略、コセカント）と表し、これらもしばしば用います。
Q.
a
答えは − ⋅ tan t だと思うのですが？
b
A.
教科書の答えであっていると思います。
dy = b cos t , dx = −a sin t ,
dy
b 1
=−
dx
a tan t
[7]次の関数の極値を求め、そのグラフの概形をかけ。
(2) f ( x) = xe x
Q.
f ( x) = xe x , lim f ( x) = 0( x → −∞ ) は、厳密にはどうやって証明したらよいでしょうか。
高校までは、 y = xとy = e x 関数の強さを比較して強い方が勝つという覚え方をしましたが。
A.
まさに「強い方」が勝つわけです。それを数学的に表しているのが e x のテーラー
展開でしょう。x < 0 において xe x を考察するとき、 e x の項の取り扱いが混乱すると困るの
で、|x|=ｚとおいて − ze
(− z)
=−
z
ez
とします。
e z をテーラー展開します。どのようなｚに対しても e z は
z=0 のまわりに展開で
きることが重要です（なぜなら z→∞にするから）。
z
ez
=
z
(1 + z + z 2 / 2 + z 3 / 3!+ ")
=
1
1 / z + 1 + z / 2 + z 2 / 3!+ "
この分母の第三項目より後ろが∞に発散するため、極限は負の方から 0 に近づきます。
(3) f ( x) =
x+4
x + 2x + 3
2
Q.
答がうまくでないのですが解答はあってますよね？
A.
あってます。
(2),(3)
Q.
極値はわかりましたが、図がイメージできません。
A.
グラフのおおよその形を描くとき、まず関数をパーツに分けます。たとえば xe x で
あれば xとe x です。そしてパーツごとにグラフを描きます。この場合には y = xとy = e x です。
そ れ ぞ れ の グ ラ フ が 通 過 す る 点 に つ い て 、 要 点 を お さ え ま し ょ う 。 前 者 で は (-1,-1),
（0,0）,(1,1)と後者では(-1,1/e),(0,1),(1,e)程度でよいと思います。また e の値 2.7...は、3 ぐ
らいにしておいても構いません。各関数の値の積を作れば、 xe x が通過する点が
x
1
(−1, − ) → (−1, − ), (0, 0), (1, e)
e
e
などとなります。あとは無限遠での様子を知りたいでしょうから、 lim xe xのx → ±∞ の両極
限を追加します。x<0 では xe x = x / e | x| となるので、( e x のマクローリン展開をみればわか
るように)0 に収束します。また x>0 では無限大に発散します。
[8] ボートに乗った人がＰ点にいる。Ｐ点にはまっすぐな海岸の最近点Ａより 6ｋｍ沖にあ
る。Ａ点から海岸に沿って 8ｋｍ離れたＢ点にできるだけ早く到着したい。ボートをこく速
度は毎時 2ｋｍ、歩く速度は毎時 5ｋｍとして、どの地点Ｃに上陸すればよいか求めよ。
(※略解→AC=x とする。 PC = 36 + x 2 だから、要する時間 t1 = 36 + x 2 / 2. CB = 8 − x だか
ら、要する時間 t 2 = (8 − x) / 5.
要する時間の全体は
T = t1 + t 2 = 36 + x 2 / 2 + (8 − x) / 5. dT / dx = x / 2 x 2 + 36 − 1 / 5 = 0よりx = 12 / 21 = 2.75 で Ｔ
は最小値をとる。結局Ａ点より約 2.75km の地点に上陸すればよい。）
Q.
何で、 x / 2 x 2 + 36 − 1 / 5 = 0 なのですか？
A.
この「0」は dT/dx = 0 の意味です。すなわち「dT/dx を計算すると x / 2 x 2 + 36 − 1 / 5
となるが、Ｔが最小（極小）になるｘでは dT/dx = 0 となるので、そのｘは x / 2 x 2 + 36 − 1 / 5
を 0 とする」ということを短く書いてしまったのです。
[10]
x2 x3 x4
x5
+
−
+
(0 < ϑ < 1) を示せ。
2
3
4 5(1 + ϑx) 5
(1) log(1 + x) = x −
(※略解→
f ( x) = log(1 + x), f
f
( 4)
= −2 ⋅ 3, f
( 5)
(n)
( x) = (−1) n +1 (n − 1)! /(1 + x) n より、f (0) = 0, f ′(0) = 1, f ′′(0) = −1, f ′′′(0) = 2,
= 2 ⋅3⋅ 4
これらをマクローリン展開の式に代入して証明すべき式を得る。)
Q.
(1) の解答の部分で f(x)の n 次導関数の式 f
(n)
( x) = (−1) n +1 (n − 1)! /(1 + x ) n はどこから
出てきたのですか?
A.
テーラー展開（マクローリン展開）の剰余項の一般式が 66 ページの式
（3.40）となるから、 R n +1 に対して f の(n+1)階導関数が現れます。ｆ=ln(1+x)なので、
f ′ = [ln(1 + x)]′ = 1 /(1 + x), f ′′ = −1 /(1 + x) 2
この演習の[4](1)を使えば、目的に到達するはず。
(2)上の結果を使い、log1.1 を計算し誤差を評価せよ。
(※略解→ log 1.1 = 0.1 − (0.1) 2 / 2 + (0.1) 3 / 3 − (0.1) 4 / 4 = 0.09531. 誤差は(0.1) 5 / 5 = 2 × 10 −6 より小
さい。)
Q.
log1.1 の値は求めたのですが、誤差の評価の仕方がわかりませんでした。
A.
(1)の展開式の x 4 の項までで打ち切り、x=0.1 とおいてその値を計算したのですか
5
5
ら、 x / 5(1 + ϑx) がないと正しい式になりません。すなわち、この剰余項が打ち切り誤差
の見積もりを与えます。θは 0 と 1 の間のどこかにありますが、剰余項の分母にあるため、
またｘの値が正であるため、θを 0 としたものより剰余項が大きくなることはありません。
そこで x 5 / 5(1 + ϑx) 5 でθ=0 とおき、x=0.1 とおいて計算すれば、誤差の大きさの安全宣言と
なります。
なぜに剰余項 R の項数が n+1 だったのかやっとわかりました。この問いでは n=4
Q.
までマクローリン展開し、剰余項については定義式に代入して x 5 / 5(1 + ϑx) 5 を導いている、
そういう流れなのですね。テイラーの定義って実は剰余項の置き方がすばらしいのでは？
という気がしてきました。
解答の「誤差は...より小さい」この誤差はθの入った剰余項とそれに一番近い数を
比較しているという意味ですね？
A.
「一番近い数」という意味が「誤差が、それよりは大きくないというぎりぎりの
数」ということであれば、その通りです。
[11](1)
( x − a) 2
( x − a) n
nπ

sin a + " +
sin  a +
2!
2
n!

1
n +1 

( x − a ) n +1 sin  a + ϑ ( x − a ) +
=
π  (0 < ϑ < 1)
(n + 1)!
2


sin x = sin a + ( x − a ) cos a −
R n +1
(※略解→ f ( x) = sin x, f
(n)

 + R n +1

を示せ。
n 

( x) = sin x + π  をテイラー展開の式に代入して、証明すべき式を
2 

得る。)
Q.
略解を見ても、よく理解できませんでした。
A.
f(x) = sin(x) を x = a でテーラー展開した式そのままに見えますが、どこが理解
できなかったのかな？
(2)上の結果を使い sin62°を少数 5 桁まで求めよ。
(※略解→a=60°=π/3,x=62°=62π/180 にとる。x-a=π/90。よって(1)より
sin 62° = sin 60° +
π
90
2
cos 60° −
2
3
1π 
1π 
  sin 60° −   cos 60° + "
2  90 
3!  90 
3
1
1π  1 π 
1 π 
=
3 +  −
3   −   + " = 0.88295
2
2  90  4  90  12  90 
)
Q.
a=60 のするのはどうしてですか?
A.
62 度のところのサインの値を求めるとき、これに近い角度で、しかもよく知られ
た 60 度の値を使おうとしただけです。