いろいろな曲線の確認

いろいろな曲線の確認
★ いろいろな曲線の代表的なものを確認しておこう。
トコロイド trochoid
サイクロイド cycloid
よ は い せん
余擺 線 とも。半径 a の円が x 軸上を滑らずに転がると
き、円の周上の定点 P の描く曲線。エピトコロイド、ハ
イポトコロイドも各サイクロイドのものにつながる。
半径 a の円が x 軸上を滑らずに転がるとき、円の周上の
定点 P の描く曲線。トコロイドの a  b のときと⾒るこ
とができる。

x  at  b sin t





 y  a  b cos t
y
y
O
 x  a q  sin q 


 y  a 1  cos q 

P
O
x
x
a  1, b  2 のとき
エピサイクロイド epicycloid
がい
ハイポサイクロイド hypocycloid
がいはいせん
外サイクロイドや外擺線とも。半径 a の円が定円を滑ら
ない
ないはいせん
内サイクロイドや内擺線とも。半径 a の円が定円を滑ら
ずに転がるとき、円の周上の定点 P の描く曲線
ずに転がるとき、円の周上の定点 P の描く曲線

 x  a  b cos t  b cos a  b t

b


ab
t
 y  a  bsin t  b sin
b


 x  a  b cos t  b cos b  a t

b


ba
t
 y  a  b sin t  b sin
b

y
O
x
O
x
a  5, b  1 のとき
a  3, b  1 のとき
カージオイド cardioid
アステロイド astroid
心臓形とも。エピサイクロイドの a  b  1 の場合であ
る。またパスカルの蝸牛形の a  b と⾒ることもできる。
r  a 1  cos q 
y
せいぼうけい
星芒形、星形とも。ハイポサイクロイドで a  1, b 
おき、3 倍角の公式を用いると導かれる。
 x  cos3 q

 y  sin 3 q

y
O
1
と
4
y
x
O
パスカルの蝸牛形 Limason de Pascal
x
リサージュ Lissajous
リマソンとも。 x 軸に対して線対称な図形である。
r  a  b cos q
y
リサジューやボウディッチ曲線とも。周波数の測定に用
いられることが多く、オシロスコープで観測することも
できる。
y

x  sin at





 y  sin bt
O
a  1, b  2 のとき
x
O
a  4, b  3 のとき
x
バラ曲線 Rose Curve
デカルトの正葉線 folium of Descartes
原点 O で自らと交わる。 y  x  a を漸近線に持つ。ル
正葉線、正葉曲線とも。バラに似た形のため、このよう
に名付けられた。下の式で b が偶数のとき 2b 個のルー
ープで囲まれる面積は S 
プから、 b が奇数のとき b 個のループからなる。
r  a sin b q
b  2 のとき
y
b  5 のとき y
O
x
x 3  y 3  3axy  0
O
O
レムニスケート lemniscate
ッシーニの卵形線の a  b とみることができる。ベルヌ
ート、 a  0 のとき１つのループからなる。
ーイ兄弟によって最初に発⾒され、イタリアの数学者フ
 y 2   2b 2  x 2  y 2    a 4  b 4   0
2
y
y
x
連珠形、ヤコブ・ベルヌーイのレムニスケートとも。カ
a  b のとき２つの丸いループ、a  b のときレムにスケ
2
y
x
カッシーニの卵形線 Cassinian oval
x
3a 2
である。
2
ァニャーノによって楕円積分論の事例として詳しく研
究された。
y
y
r  2 a cos 2q
2
O
O
x
x
O
2
x
O
b 1
b  0.9
x
b  1.1
代数螺旋
代数的な式によって表される螺旋で、対数螺旋は含まない。
アルキメデスの螺旋
Archimedes' spiral
放物螺旋
Parabolic Spiral
放物螺旋
Parabolic Spiral
放物螺旋
Parabolic Spiral
等間隔の渦巻。
渦は外側にいくほど（θが大
θが大きくなるにつれて、原
r  aq
きくなるほど）間隔が狭く
y  a を漸近線にもつ螺旋
a
r
q
ra q
なっていく。
y
点に近付く螺旋
r
y
y
a
q
y
O
x
O
x
O
O
対数螺旋 logarithmic spiral
x
黄金螺旋 golden spiral
等⾓螺旋(equiangular spiral）やベルヌーイの螺旋と
も。⾃然界によく⾒られる螺旋の⼀種である。
r  ae bq
x
y
⻩⾦⽐ φ に関連した対数螺旋の⼀種。
log j
b
 0.30634896253 なる定数 b に対して
p
y
2
r  e bq で与えられるもの
O
x
O
x
インボリュート曲線 logarithmic spiral
シッソイド cissoid
円の伸開線 (involute of circle) とも。定円に糸を巻き
つけ、その定円自体は回転させず固定したまま、ほどか
れた部分が直線を保つよう
y
に張りながらその糸をほど
くとき、その糸の先端が描く
曲線である⻭⾞の多くが
インボリュート曲線を⻭型
O
x
とするインボリュート⻭⾞
として作られている。
 x  a cos q  q sin q 


 y  a sin q  q cos q 

音訳から疾走線とも。 x  a を漸近線として持つ。
x3   x  a y 2  0
O
コンコイド conchoid
x
ストロフォイド strophoid
ニコメデスのコンコイドとも。 x  a を漸近線として持
つ。
 x  a  x 2  y 2   b 2 x 2  0
y
2
y
y
O
O
葉形線とも。 x  a を漸近線として持つ。
 x  a x 3   x  a  y 2  0
y
O
x
a  1, b  1
x
x
a  1, b  2
カテナリー曲線 catenary
トラクトリックス tractrix
懸垂曲線や懸垂線とも。ロープや電線などの両端を持っ
て垂らしたときにできる曲線を表す。⼒学的にも安定し
ているので、建築物や橋梁にも⽤いられる。
x 
 x
 e a  e a 
x


y  a cosh  a 


a
2



y
けんいんせん
牽引線とも。カテナリーの伸開線であり、 x 軸を漸近線
として持つ。
x  a log
a  a2  y2
 a2  y2
y
y
O
O
x
x
円錐曲線 conic curve
円錐⾯を任意の平⾯で切断したときの断⾯としてえられる曲線群の総称。
円
Archimedes' spiral
楕円
ellipse
放物線
parabola
双曲線
hyperbola
全ての⺟線と交わり、底⾯
全ての⺟線と交わり、底⾯ ⺟線に平⾏な⾯で切断。
⺟線に平⾏でない平⾯で切
に平⾏な平⾯で切断。
に平⾏でない平⾯で切断。
断。

x  a cos t





 y  a sin t

x  a cos t





 y  b sin t
y
O
x  t



2


 y  at  bt  c
y
y
y
x
O

x  a cosh t





 y  b sinh t
O
x
O
x
x