ケプラー軌道方程式のまとめ GM = µ s/m s/m 10 41 004 986.314e41

宇宙工学基礎（松永）
ケプラー軌道方程式のまとめ
ケプラー軌道方程式のまとめ
引用文献：
James R. Wertz, Mission Geometry; Orbit and Constellation Design and Management, Space Technology
Library, Kluwer Academic Publishers, 2001, pp.835-852.
中心物体の重力定数(gravitational constant)
µ について：
重力定数は µ = GM と定義されるが、その値自身は、それぞれ質量 M や万有引力定数 G 単独
の計測値よりもはるかに正確に求められている。なお、万有引力定数 G の計測値は基礎物理定数
の中で最も精度が低い。
中心物体
µ
µ
3
m /s
太陽（表面）
（1 AU）
水星
金星
地球
月
火星
木星
土星
天王星
海王星
冥王星
[小惑星]
セレス
パラス
ベスタ
イトカワ
2
m
1.5
/s
1.327 124 38 e+20 11,520,088,436
2.203 4 e+13
3.249 e+14
3.986 004 41 e+14
4.902 798 98 e+12
4.283 200 00 e+13
1.266 9 e+17
3.793 4 e+16
5.795 1 e+15
6.835 4 e+15
8.7 e+11
7.83 e+10
1.46 e+10
1.59 e+10
4,694,000
18,020,000
19,964,980.4
2,214,226.5
6,544,616.1
355,935,000
194,767,000
76,125,600
82,676,500
9.33 e+5
軌道速度
周期
km/s
436.822
29.716
3.005
7.327
7.905
1.680
3.551
42.097
25.088
15.058
16.614
0.852
min
167.0
529,642
85.0
86.5
84.5
108.3
100.2
177.8
251.6
177.8
156.1
146.9
km/s
617.760
42.024
4.250
10.362
11.180
2.376
5.022
59.534
35.480
21.295
23.496
1.205
0.414
0.236
0.252
115.4
115.9
104.0
0.586
0.334
0.357
2.80 e+5
1.21 e+5
1.26 e+5
脱出速度
（注意： 3.986 004 41 e + 14 = 3.986 004 41 × 10 ）
14
共通記号：
ν ：真近点離角 true anomaly 近点から軌道物体までの角度。 θ とも書く。
M：平均近点離角（平均近点角）mean anomaly M = n(t − T )
t：観測時刻 the time of observation
T：近点通過時刻 the time of perifocal passage
t p とも書く。
n：平均（角）運動 mean (angular) motion
1
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ケプラー軌道方程式のまとめ
2
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3
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ケプラー軌道方程式のまとめ
4
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ケプラー軌道方程式のまとめ
１．
円軌道 circular orbits
円軌道の物理量であることを強調するために頭に C.を付ける
C.定義パラメータ：
a = 長半径（長半径）semimajor axis = r = 半径 radius
C.幾何方程式： x + y = a
C.焦点からの距離, r：
r=a
C.比エネルギーspecific energy, ε （単位質量あたりの全エネルギー、h とも書く）：
2
2
2
µ
V2 µ
ε =−
=
−
r
2a
2
µa
C.比角運動量 specific angular momentum, h（c とも書く）： h = h =
h = r × V ( c = r × r& とも書く)
C.ノード（交線）ベクトル node vector, N： N = zˆ × hˆ = zˆ × h h
C.軌道傾斜角 inclination, i：
i = arccos(hz h )
C.昇交点赤径 right ascension of the ascending node, Ω ：
Ω = arctan 2( N y , N x )
C.角運動量ベクトル, h（c とも書く）：
φ fpa ：
C.飛行経路角 flight path angle,
φ fpa = 0
C.近点距離 perifocal distance, q：
C.半直弦 semi-parameter, p：
C.長半径（長半径）semimajor axis, a：
C.離心率 eccentricity, e：
q=a
p=a
a=r
e=0
C.平均運動 mean motion, n：
C.真近点離角 true anomaly, ν ：
C.真近点離角レート, ν& ：
= 2π P
a3
M = M 0 + nt
ν =M
ν& = n
C.軌道周期 orbital period, P：
P = 2π / n = 2π a 3 µ
n=
C.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M：
µ
4
P a 3 / 2 = 1.658 669 010 × 10 −（地球；
P[min], a[km]）
3
= 1.495 569 413× 10 −（月；
P[min], a[km]）
4
= 5.059 429 211 × 10 −（火星；
P[min], a[km]）
= 1.996 228 781 × 10 −10
（太陽；P[days], a[km]）
C.レンジ・レンジレート range・range rate, rr& ：
&：
C.面積速度 areal velocity, A
V = µ a = an
rr& = 0
A& = 0.5 µa = 0.5a 2 n
C.脱出速度 escape velocity, V E ：
V E = 2 µ a = 2V
C.軌道速度 orbital velocity, V：
C.オイラー軸補緯度角 Euler axis co-latitude,
δ E' ：
⎞
n sin i
⎟⎟
⎝ − ω E + n cos i ⎠
⎛
δ E' = arctan⎜⎜
ω E = 中心物体の慣性回転レート
s
= 0.004178 074 deg/（地球）
s
= 0.000152 504 deg/（月）
s
= 0.004 061 249 deg/（火星）
C.オイラー回転レート Euler rotation rate,
ω E ： ω E = n sin i / sin δ E' = ω E 2 + n 2 + 2nω E cos i
5
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ケプラー軌道方程式のまとめ
C.角半径 angular radius,
ρ：
ρ = arcsin( RE / a ) （球を仮定。）
R E = 中心物体の半径
（地球）
= 6378.140 km
（月）
= 1738.2 km
（火星）
= 3397 km
D = arccos ρ = a 2 − RE
C.水平面までの距離 distance to the horizon, D：
2
λmax ： λmax = 90 deg − ρ = arc cos( RE / a)
IAA = K A (1 − cos λmax )
C.瞬間アクセス面 instantaneous access area, IAA：
K A = 2π ≈ 6.283185 311 [steradians]
C.最大地球中心角 maximum Earth central angle,
= 360 2 /( 2π ) ≈ 20,626.480 62 [deg 2 ]
= 2.556 04187 × 10 8 [km 2 ]（地球）
= 1.898 363 × 10 7 [km 2 ]（月）
= 7.250 550 × 10 7 [km 2 ]（火星）
sin λ max
P
C.最大可視時間 maximum time in view, Tmax ：
Tmax = Pλmax / 180 deg
C.地表から見た最大角速度 maximum angular rate seen from ground, θ& ：
AAR = 2 K A
C.アクセス面レート area access rate, AAR：
max
θ&max =
a 360 deg
P(a − RE )
C. J 2 項によるノード歳差レート node precession rate due to J 2 ,
∆Ω J 2 ：
∆Ω J 2 = −1.5nJ 2 n( RE / a ) 2 cos i ≡ K J 2 a −7 / 2 cos i
= −2.064 74 × 1014 a −7 / 2 cos i [deg/ calender day（地球、
]
a[km]）
= −3.220 × 1011 a −7 / 2 cos i [deg/ calender day（月、
]
a[km]）
= −3.483 × 1013 a −7 / 2 cos i [deg/ calender day（火星、
]
a[km]）
C.太陽同期傾斜角 Sun-synchronous inclination, i ss ：
⎛ 360a 7 / 2 ⎞
⎟⎟
i ss = arccos⎜⎜
⎝ K J 2 SP ⎠
= arccos(−4.773 7 × 10 −15 a 7 / 2 )（地球、a[km]）
= arccos(−3.061 × 10 −12 a 7 / 2 )（月、a[km]）
= arccos(−1.505 × 10 −14 a 7 / 2 )（火星、a[km]）
SP = 恒星周期 sidereal period [calendar day]
C.1 日当りの回転数 revolutions per day, Rev/d：
対象とする惑星が恒星に対して自転軸周りに 1 回転する間の軌道周回数
R ev/d = Day / P
= 1,436.07 / P（地球、P[min]）
= 39,343 / P（月、P[min]）
= 1,477.38 / P（火星、P[min]）
Day =中心物体の恒星日 sidereal day
C.ノード間隔 node spacing,
∆N ：
6
宇宙工学基礎（松永）
ケプラー軌道方程式のまとめ
∆N = 360 deg( P / Day )
= 0.250 684 P（地球、P[min]）
= 0.009150 3 P（月、P[min]）
= 0.243 675 P（火星、P[min]）
C.最大日食時間 maximum eclipse, TE ：
TE = P (ρ / 180 deg ) = P arcsin( R E / a ) / 180 deg
C.明暗界線のための太陽角条件, β ' ：
90° + ξ − ρ < β ' < 90° − ξ + ρ
ξ は大気屈折を考慮した太陽不可視角、暗角 dark angle
C.天体座標が既知の宇宙機の通過時間 transit time of a spacecraft whose celestial coordinates are
T = α + L − GST
known, T：
ここで、α ：赤径、L：観測者東経 observer east longitude、GST：グリニッジ恒星時 Greenwich Sidereal
time
２．
楕円軌道 elliptical orbits
楕円軌道の物理量であることを強調するために頭に E.を付ける
E.定義パラメータ：
a = 長半径（半長径）semimajor axis
b = 短半径（半短径）semiminor axis
x2 y2
+
=1
a2 b2
r (1 − e)
q (1 + e)
p
r=
= a (1 − e cos E ) =
= a
1 + e cosν
1 + e cosν 1 + e cosν
E.幾何方程式：
E.焦点からの距離, r：
E.比エネルギーspecific energy,
ε=
ε （単位質量あたりの全エネルギー、h とも書く）：
V2 µ
µ
2
−
r
=−
2a
<0
E.比角運動量 specific angular momentum, h（c とも書く）：
h = h = µp = rV cos φ fpa = r 2ν& = raVa = rpV p
h = r × V ( c = r × r& とも書く)
E.角運動量ベクトル, h（c とも書く）：
E.ノード（交線）ベクトル node vector, N： N = zˆ × hˆ = zˆ × h h
E.離心率ベクトル eccentricity vector（ラプラス・ルンゲベクトル）, e（f とも書く）：
e=
V×h
µ
−
r
r
i = arccos(hz h )
E.昇交点赤径 right ascension of the ascending node, Ω ：
E.軌道傾斜角 inclination, i：
E.飛行経路角 flight path angle,
Ω = arctan 2( N y , N x )
φ fpa ：
φ fpa = arctan 2(cos φ fpa , sin φ fpa ) = arccos( µp / rV )
sin φ fpa =
e sin E
1 − e 2 cos 2 E
E.近点距離 perifocal distance, q = rp ：
q = rp = a (1 − e) =
,
cos φ fpa =
1 − e2
1 − e 2 cos 2 E
V
p
1− e b2
= ra
=
= ra a
1+ e
1 + e ra
Vp
E.半直弦 semi-parameter, p：
7
宇宙工学基礎（松永）
ケプラー軌道方程式のまとめ
p = a (1 − e 2 ) = r (1 + e cosν ) = q (1 + e) =
b2 h2
=
µ
a
E.遠点距離 radius of apoaxis, ra ：
1+ e
b2
b2
ra = a(1 + e) = 2a − rp =
=q
=
rp
1− e a − c
E.長半径（長半径）semimajor axis, a：
a=
ra + rp
2
r
µ ⎛µ⎞
p
=
= a =
=−
=⎜ ⎟
2
1− e 1+ e 1− e
2ε ⎝ n 2 ⎠
rp
1/ 3
E.短半径（短半径）semiminor axis, b：
b = a 1 − e 2 = ap = ra rp = µp h
E.離心率 eccentricity, e： 0 < e <1
e = e = 1+
2εh 2
µ2
=
rp c
a 2 − b 2 ra − rp ra
=
= −1 = 1− =
a
ra + rp
a
a a
E.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M：
µ
= 2π P
a3
M = M 0 + nt = E − e sin E
n=
E.平均運動 mean motion, n：
E.離心近点離角 eccentric anomaly, E：
⎡ 1− e
ν⎤
E = arctan(cos E , sin E ) = 2 arctan ⎢
tan ⎥
2⎦
⎣ 1+ e
⎛ a−r
⎛a−r⎞
⎛r
⎞
= arccos⎜
⎟ = arcsin⎜ sinν ⎟ = arccos⎜⎜
⎝ ae ⎠
⎝b
⎠
⎝ a − rp
e + cosν
sinν 1 − e 2
, sin E =
1 + e cosν
1 + e cosν
M から E の逐次解法： E 0 を初期推定値、例えば E 0 = M
⎞
⎟
⎟
⎠
cos E =
Ei +1 = E i +
E.真近点離角 true anomaly,
E の i 番目の推定値 E i
M − E i + e sin E i
1 − e cos E i
ν：
⎡ 1+ e
E⎤
tan ⎥
2⎦
⎣ 1− e
⎛ p / r −1⎞
⎛ cos E − e ⎞
= arccos⎜
⎟ = arccos⎜
⎟
⎝ e ⎠
⎝ 1 − e cos E ⎠
ν = arctan(cosν , sinν ) = 2 arctan ⎢
cosν =
cos E − e
sin E 1 − e 2
, sinν =
1 − e cos E
cos E − e
M に関する展開：
5
4
1
4
ν ≈ M + 2e sin M + e 2 sin 2M − e 3 sin M +
E.真近点離角レート, ν& ：
ν& =
µp
r2
=
V p rp
r2
=
Va ra na 2
= 2 1 − e2
2
r
r
8
( )
13 3
e sin 3M + O e 4
12
宇宙工学基礎（松永）
ケプラー軌道方程式のまとめ
P = 2π / n = 2π a 3 µ
E.軌道周期 orbital period, P：
4
P a 3 / 2 = 1.658 669 010 × 10 −（地球；
P[min], a[km]）
3
= 1.495 569 413× 10 −（月；
P[min], a[km]）
4
= 5.059 429 211 × 10 −（火星；
P[min], a[km]）
= 1.996 228 781 × 10 −10
（太陽；P[days], a[km]）
E.軌道速度 orbital velocity, V：
2µ µ
⎛µ
⎞
V =
− = 2⎜ + ε ⎟ =
r
a
⎝r
⎠
Va r p
=
V p ra
Vp =
µ
rp
µ
(1 + e ) =
µ⎛
1 − e2
⎜⎜ 2 −
r⎝
1 + e cosν
2 µra
=
rp (ra + rp )
µrp
µ⎛
r
⎜⎜ 2 − p
rp ⎝
a
µ⎛
r
⎜2 − a
ra
ara
ra ⎝
a
E.アジマス速度 azimuthal velocity, Vaz ：
Vaz
Va =
(1 − e ) =
=
µp
⎞
⎟⎟ =
⎠ r cos φ fpa
⎞
r
⎟⎟ = Va a
rp
⎠
rp
⎞
⎟ = Vp
ra
⎠
= V cos φ fpa = rν&
Vr = V sin φ fpa = Vaz
E.動径速度 radial velocity, Vr ：
E.レンジ・レンジレート range・range rate, rr& ：
e sinν
rν&e sinν
=
q
1 + e cosν
rr& = e aµ sin E
&：
E.面積速度 areal velocity, A
A& = 0.5 aµ (1 − e 2 ) = 0.5r 2ν&
E.脱出速度 escape velocity, V E ：
VE = 2µ r
E.オイラー軸補緯度角 Euler axis co-latitude,
δ E' ：
⎛
⎞
ν& sin i
⎟⎟
&
ω
ν
cos
−
+
i
E
⎝
⎠
δ E' = arctan⎜⎜
ω E = 中心物体の慣性回転レート
= 0.004178 074 deg/（地球）
s
= 0.000152 504 deg/（月）
s
= 0.004 061 249 deg/（火星）
s
E.オイラー回転レート Euler rotation rate,
E.角半径 angular radius,
ρ：
ω E ： ω E = ν& sin i / sin δ E' = ω E 2 + ν& 2 + 2ν&ω E cos i
ρ = arcsin( RE / a) （球を仮定。）
R E = 中心物体の半径
= 6378.140 km
（地球）
= 1738.2 km
（月）
= 3397 km
（火星）
D = r cos ρ = a 2 − RE
E.水平面までの距離 distance to the horizon, D：
E.水平面までの距離の最大値 maximum distance to the horizon, Dmax ：
Dmax = ra cos ρ min = ra − RE
2
2
E.水平面までの距離の最小値 minimum distance to the horizon, Dmin ：
9
2
宇宙工学基礎（松永）
ケプラー軌道方程式のまとめ
Dmin = rp cos ρ max = rp − R E
2
2
λmax ： λmax = 90 deg − ρ = arc cos( RE / r )
IAA = K A (1 − cos λ max )
E.瞬間アクセス面 instantaneous access area, IAA：
K A = 2π ≈ 6.283185 311 [steradians]
E.最大地球中心角 maximum Earth central angle,
= 360 2 /( 2π ) ≈ 20,626.480 62 [deg 2 ]
= 2.556 04187 × 10 8 [km 2 ]（地球）
= 1.898 363 × 10 7 [km 2 ]（月）
= 7.250 550 × 10 7 [km 2 ]（火星）
K ν&
AAR = A sin λ max
E.アクセス面レート area access rate, AAR：
π
Tmax = 2λ max /ν&
E.地表から見た最大角速度 maximum angular rate seen from ground, θ&max ：
rν&
θ&max =
r − RE
E. J 2 項によるノード歳差レート node precession rate due to J 2 , ∆Ω J 2 ：
E.最大可視時間 maximum time in view, Tmax ：
∆Ω J 2 = −1.5 J 2 n( RE / a) 2 (1 − e 2 ) −2 cos i ≡ K J 2 a −7 / 2 (1 − e 2 ) −2 cos i
= −2.064 74 × 1014 a −7 / 2 (1 − e 2 ) − 2 cos i [deg/ calender day（地球、
]
a[km]）
= −3.220 × 1011 a −7 / 2 (1 − e 2 ) − 2 cos i [deg/ calender day（月、
]
a[km]）
= −3.483 × 1013 a −7 / 2 (1 − e 2 ) − 2 cos i [deg/ calender day（火星、
]
a[km]）
E.太陽同期傾斜角 Sun-synchronous inclination, i ss ：
⎞
⎛
360a 7 / 2
⎟⎟
i ss = arccos⎜⎜
2 2
⎝ K J 2 (1 − e ) SP ⎠
= arccos(−4.773 7 × 10 −15 a 7 / 2 (1 − e 2 ) 2 )（地球、a[km]）
= arccos(−3.061 × 10 −12 a 7 / 2 (1 − e 2 ) 2 )（月、a[km]）
= arccos(−1.505 × 10 −14 a 7 / 2 (1 − e 2 ) 2 )（火星、a[km]）
SP = 恒星周期 sidereal period [calendar day]
E. J 2 項による近点回転レート periapsis rotation rate due to J 2 , ∆ω J 2 ：
⎛
⎝
5
2
⎞
⎠
⎛
⎝
5
2
⎞
⎠
∆ω J 2 = 1.5 J 2 n( RE / a) 2 (1 − e 2 ) − 2 ⎜ 2 − sin 2 i ⎟ = K J 2 a −7 / 2 (1 − e 2 ) − 2 ⎜ 2 − sin 2 i ⎟
E.1 日当りの回転数 revolutions per day, Rev/d：
対象とする惑星が恒星に対して自転軸周りに 1 回転する間の軌道周回数
R ev/d = Day / P
= 1,436.07 / P（地球、P[min]）
= 39,343 / P（月、P[min]）
= 1,477.38 / P（火星、P[min]）
Day =中心物体の恒星日 sidereal day
Ｅ.ノード間隔 node spacing, ∆N ：
10
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ケプラー軌道方程式のまとめ
∆N = 360 deg( P / Day )
= 0.250 684 P（地球、P[min]）
= 0.009150 3 P（月、P[min]）
= 0.243 675 P（火星、P[min]）
Ｅ.指定された真近点離角における最大日食時間 maximum eclipse, TE ：
TE ≈ 2 ρ /ν& = (2 /ν& ) arcsin( RE / r )
E.明暗界線のための太陽角条件, β ' ：
90° + ξ − ρ < β ' < 90° − ξ + ρ
ξ は大気屈折を考慮した太陽不可視角、暗角 dark angle
E.天体座標が既知の宇宙機の経過時間 transit time of a spacecraft whose celestial coordinates are
known, T：
T = α + L − GST
ここで、α ：赤径、L：観測者東経 observer east longitude、GST：グリニッジ恒星時 Greenwich Sidereal
time
３．
放物線軌道 parabolic orbits
放物線軌道の物理量であることを強調するために頭に P.を付ける
P.定義パラメータ：
p = 半直弦 semi-latus rectum = semiparameter
q= 近点距離 perifocal distance
P.幾何方程式：
x 2 = 4qy
p
q (1 + e)
D2
r=
=
=q+
P.焦点からの距離, r：
1 + cosν 1 + e cosν
2
P.比エネルギーspecific energy, ε （単位質量あたりの全エネルギー、h とも書く）： ε = 0
P.比角運動量 specific angular momentum, h（c とも書く）：
h = h = µp = rV cos φ fpa = r 2ν& = rpV p
h = r × V ( c = r × r& とも書く)
P.角運動量ベクトル, h（c とも書く）：
P.ノード（交線）ベクトル node vector, N： N = zˆ × hˆ = zˆ × h h
P.離心率ベクトル eccentricity vector（ラプラス・ルンゲベクトル）, e（f とも書く）：
V×h
r
µ
r
i = a cos(hz h )
P.軌道傾斜角 inclination, i：
P.昇交点赤径 right ascension of the ascending node, Ω ：
e=
P.飛行経路角 flight path angle,
φ fpa ：
−
Ω = arctan 2( N y , N x )
φ fpa = ν / 2 = arccos( µp / rV )
p
2
P.近点距離 perifocal distance, q = rp ：
q = rp =
P.半直弦 semi-parameter, p：
p = 2q = r (1 + cosν ) =
P.長半径（長半径）semimajor axis, a：
P.短半径（短半径）semiminor axis, b：
P.離心率 eccentricity, e：
a=∞
b=∞
e=1
P.平均運動 mean motion, n：
n=2
h2
µ
µ
ν⎤
1⎡ ν 1
= ⎢ tan + tan 3 ⎥
t⎣
2 3
2⎦
p
3
t は近点通過後の経過時刻
11
宇宙工学基礎（松永）
ケプラー軌道方程式のまとめ
M = M 0 + nt = qD + D 3 / 6
P.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M：
D = 2q tan
P.放物線近点離角 parabolic anomaly, D：
P.真近点離角 true anomaly,
ν
2
ν = arctan(cosν , sinν )
ν：
cosν =
P.真近点離角レート, ν& ：
ν& =
p−r
Dp
, sin E =
r
r 2q
µp
=
P.軌道周期 orbital period, P：
r2
P=∞
P.軌道速度 orbital velocity, V：
V = VE =
V p rp
r2
µp
2µ
=
r
r cos φ fpa
Vp =
P.近点速度 velocity at periapsis, V p ：
2µ
rp
P.アジマス速度 azimuthal velocity, Vaz ：
VE = 2µ r
Vaz = V cos φ fpa = rν&
P.動径速度 radial velocity, Vr ：
Vr = V sin φ fpa = Vaz
P.放物線速度 = 脱出速度 escape velocity, V E ：
rr& = µ D
P.レンジ・レンジレート range・range rate, rr& ：
&：
P.面積速度 areal velocity, A
sinν
rν&e sinν
=
q
1 + e cosν
A& = µq / 2 = 0.5r 2ν&
以下は双曲線軌道と同じ。
４．
双曲線軌道 hyperbolic orbits
双曲線軌道の物理量であることを強調するために頭に H.を付ける
H.定義パラメータ：
H.幾何方程式：
a = 半横断軸 semi-transverse axis (a < 0)
b = 半共役軸 semi-conjugate axis
x2 y2
−
=1
a2 b2
H.焦点からの距離, r：
r=
tan H
p
q(1 + e)
⎛ e
⎞
= a(1 − e cosh F ) = a⎜
− 1⎟ = a e 2 − 1
=
1 + e cosν
sinν
1 + e cosν
⎝ cos H
⎠
H.比エネルギーspecific energy,
ε=
ε （単位質量あたりの全エネルギー、h とも書く）：
V2 µ
µ
2
−
r
=−
2a
>0
H.比角運動量 specific angular momentum, h（c とも書く）：
h = h = µp = rV cos φ fpa = r 2ν& = rpV p
h = r × V ( c = r × r& とも書く)
H.角運動量ベクトル, h（c とも書く）：
H.ノード（交線）ベクトル node vector, N： N = zˆ × hˆ = zˆ × h h
H.離心率ベクトル eccentricity vector（ラプラス・ルンゲベクトル）, e（f とも書く）：
e=
V×h
µ
−
r
r
12
宇宙工学基礎（松永）
ケプラー軌道方程式のまとめ
i = arccos(hz h )
H.昇交点赤径 right ascension of the ascending node, Ω ：
H.軌道傾斜角 inclination, i：
H.飛行経路角 flight path angle,
φ fpa ：
φ fpa = ν / 2 = arccos( µp / rV )
H = arccos
H.双曲線補助角 auxiliary angle of the hyperbola, H：
H.曲折角 turn angle,
1
e
Ψ：
Ψ = 2 arcsin = 2 arcsin
Ω = arctan 2( N y , N x )
1
= 2 arcsin
1 + V∞ q / µ
2
e
e
= arccos
a+r
1 + rh / µ
µ
µ
a
= 2 arctan
= 2 arctan
b
V pV∞ r p
ρV η cos φ fpa
H.近点距離 perifocal distance, q = rp ：
q = rp = a (1 − e) =
p
µ
µ
= 2 (1 + e) = 2 (e − 1)
1 + e Vp
V∞
H.半直弦 semi-parameter, p：
p = a (1 − e 2 ) = r (1 + e cosν ) = q (1 + e) =
b2 h2
=
µ
a
H.長半径（長半径、半横断軸）semimajor axis, semi-transverse axis, a： a < 0
µ ⎛µ⎞
a=−
=⎜ ⎟
2ε ⎝ n 2 ⎠
1/ 3
=
µ
V∞
2
q
p
= 2
e −1 e −1
=
H.短半径（短半径、半共役軸）semiminor axis, semi-conjugate axis, b：
b = a e 2 − 1 = ap = µp h =
Vp
V∞
rp =
a
tan(Ψ / 2)
H.離心率 eccentricity, e： 0 < e <1
e = e = 1+
2εh 2
µ2
=
rp 2
r
a2 + b2
p
= 1 + = 1 + a = 1 + V∞
µ
a
a
a
n= −
H.平均運動 mean motion, n：
H.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M：
µ
a3
M = M 0 + nt = e sinh F − F
H.双曲線近点離角 hyperbolic anomaly, F：
⎡ e −1
ν⎤
tan ⎥
F = arctan h (cosh F , sinh F ) = 2 arctan h ⎢
2⎦
⎣ e +1
cosh F =
e + cosν
sinν e 2 − 1
, sinh F =
1 + e cosν
1 + e cosν
M から F の逐次解法： F0 を初期推定値
Fi +1 = Fi +
H.真近点離角 true anomaly,
F の i 番目の推定値 Fi
M − e sinh Fi + Fi
e cosh Fi − 1
ν：
⎡ e +1
F⎤
tanh ⎥
2⎦
⎣ e −1
ν = arctan(cosν , sinν ) = 2 arctan ⎢
⎡ e +1
H⎤
⎛a 2
⎞
tan ⎥
= 2 arcsin⎜
e − 1 tan H ⎟ = 2 arctan ⎢
2⎦
⎝r
⎠
⎣ e −1
13
宇宙工学基礎（松永）
ケプラー軌道方程式のまとめ
− sinh F e 2 − 1
cosh F − e
, sin v =
1 − e cosh F
1 − e cosh F
µp V p rp
H.真近点離角レート, ν& ：
ν& = 2 = 2
r
r
P=∞
H.軌道周期 orbital period, P：
µp
2µ µ
H.軌道速度 orbital velocity, V：
V =
− =
=
r
a r cos φ fpa
cos v =
Vp =
H.近点速度 velocity at periapsis, V p ：
2µ
2
+ V∞
r
2µ
2
+ V∞ =
rp
µ
rp
(1 + e )
H.双曲線無限点速度 hyperbolic excess velocity, V∞ ：
V∞ = V 2 −
2µ
2 µ r pV p
2
= Vp −
=
=
r
rp
b
H.規準打ち上げエネルギーreference launch energy, C 3 ：
rp
C 3 = V∞
= rν&
H.アジマス速度 azimuthal velocity, Vaz ：
Vaz = V cos φ fpa
H.動径速度 radial velocity, Vr ：
Vr = V sin φ fpa = Vaz
H.レンジ・レンジレート range・range rate, rr& ：
µ
(e − 1)
2
e sinν
rν&e sinν
=
q
1 + e cosν
rr& = e − aµ sinh F
&：
H.面積速度 areal velocity, A
A& = 0.5 aµ (1 − e 2 ) = 0.5r 2ν&
H.脱出速度 escape velocity, V E ：
VE = 2µ r
H.オイラー軸補緯度角 Euler axis co-latitude,
δ E' ：
⎞
ν& sin i
⎟⎟
⎝ − ω E + ν& cos i ⎠
⎛
δ E' = arctan⎜⎜
ω E = 中心物体の慣性回転レート
= 0.004178 074 deg/（地球）
s
= 0.000152 504 deg/（月）
s
= 0.004 061 249 deg/（火星）
s
H.オイラー回転レート Euler rotation rate,
H.角半径 angular radius,
ρ：
ω E ： ω E = ν& sin i / sin δ E' = ω E 2 + ν& 2 + 2ν&ω E cos i
ρ = arcsin( RE / r ) （球を仮定。）
R E = 中心物体の半径
= 6378.140 km
（地球）
= 1738.2 km
（月）
= 3397 km
（火星）
H.最大角半径 maximum angular radius,
ρ max ：
ρ max = arcsin( RE / rp )
D = r cos ρ = a 2 − RE
H.水平面までの距離 distance to the horizon, D：
H.水平面までの距離の最小値 minimum distance to the horizon, Dmin ：
Dmin = rp cos ρ max = rp − R E
2
λmax ：
= 90 deg − ρ = arc cos( RE / r )
H.最大地球中心角 maximum Earth central angle,
λmax
2
14
2
宇宙工学基礎（松永）
ケプラー軌道方程式のまとめ
IAA = K A (1 − cos λ max )
K A = 2π ≈ 6.283185 311 [steradians]
H.瞬間アクセス面 instantaneous access area, IAA：
= 360 2 /( 2π ) ≈ 20,626.480 62 [deg 2 ]
= 2.556 04187 × 10 8 [km 2 ]（地球）
= 1.898 363 × 10 7 [km 2 ]（月）
= 7.250 550 × 10 7 [km 2 ]（火星）
K ν&
H.アクセス面レート area access rate, AAR： AAR = A sin λ max
π
Tmax = 2λ max /ν&
H.地表から見た最大角速度 maximum angular rate seen from ground, θ&max ：
rν&
θ&max =
r − RE
H.指定された真近点離角における最大日食時間 maximum eclipse, TE ：
TE ≈ 2 ρ /ν& = (2 /ν& ) arcsin( RE / r )
90° + ξ − ρ < β ' < 90° − ξ + ρ
H.明暗界線のための太陽角条件, β ' ：
H.最大可視時間 maximum time in view, Tmax ：
ξ は大気屈折を考慮した太陽不可視角、暗角 dark angle
H.天体座標が既知の宇宙機の経過時間 transit time of a spacecraft whose celestial coordinates are
known, T：
T = α + L − GST
ここで、α ：赤径、L：観測者東経 observer east longitude、GST：グリニッジ恒星時 Greenwich Sidereal
time
15