Picoo Z

y
光通信工学
ki
1.
2.
3.
4.
5.
復習
スネルの法則
屈折率
振幅反射（透過）率
フレネルの式
θ1
θ1
kr
媒質１：n1
n1 > n2
媒質２：n2
kt
n1 sin θ1 = n2 sin θ 2
θ2
n1 > n2 → θ1 < θ 2
光通信工学２02－1
x
y軸
光波とは：式で書いた方が分かりやすいかも！
偏光：電場Eの振動方向
偏波面：電場Eベクトルと波数ベクトルからなる平面
+y軸
H：磁場の強さ
H
x方向の直線偏光
x軸
平面波＆進行波：簡単・便利
Ex=
( z, t ) E0 cos (ωt − kz + φ )
偏波面：x-z平面
右ねじ：電場E（＋）
→磁場H（＋）
+x軸
H=
H 0 cos (ωt − kz + φ )
y ( z, t )
=
 H 0 E0 η , η > 0
磁場H
ベクトル
振幅一定
赤：正実数
波動インピーダンス：205
注意：電場Eも磁場Hも同じ位相速度の波。振動方向と振幅が異なる
k
進行方向：+z軸
振動ベクトルを記述するときのお約束（平面波の場合）
電場Eベクトル
波数ベクトル
電場E（振動）ベクトル
磁場H（振動）ベクトル
=
k
( 0, 0, k > 0 )
E = ( Ex , 0, 0 )
H = ( 0, H y , 0 )
•
•
電場Eベクトルと磁場Hベクトルの向きは「右ねじ」で設定
現実には、電場Eと磁場Hは振動しているから向きも変化する
E⊥H⊥k
•
•
詳細は省略するが、上記関係式は電場Ｅと電束密度Dの向きが
一致する「等方性質媒質」に限定される。（例：ガラス）
参考文献：末田「光エレクトロニクス」p.136（昭晃堂）
光通信工学２02－2
平面波 Plane wave：波数ベクトル表示
実数表示
平面波：振幅・波数ベクトルの位置依存性無。
複素数表示
複素振幅
10
振幅一定：赤：正実数、青：複素数
=
A
jφ
=
A
e
Ae , A > 0
k
0
=
ψ ( r, t ) A exp j (ωt − k r )
jφ
30
20
ψ ( r=
, t ) A cos (ωt − k r + φ )
進行波
進行波
厳密に言うと、平面波＆進行波
-10
-20
λ
定数
-30
-30
-20
無限の拡がり
-10
0
10
20
30
波長：µmオーダー
平面波近似の目安
平面波近似
1. ビーム径が波長に比べて非常に大きければ近似可
2. 考えている領域でビームの拡がり（回折）が無視でき
ること
質問：どうして「平面波近似」しますか？
1. 振幅の位置依存性無（本講義では定数）
2. 波数ベクトルの位置依存性無
3. 数式的に簡単で取り扱いが容易
太線の長さ＞＞波長
太線：実際に波が存在
k
光通信工学２02－3
注意：波数を位相定数と呼ぶ場合もある。
波：基本的な表現
Euler's formula ⇒ e jθ = cos θ + j sin θ
光波に限定されない一般的な「波」の性質
振幅
角周波数（rad/s）
波数（m-1）
初期位相
ψ=
( z, t ) A cos (ωt − kz + φ )
実数表示
2π
 2π

= A cos 
t−
z +φ 
λ
 T

2π ( rad=
) 360°
周波数：Hz
複素数表示
周期(s)
f =1 T
波長(m)
括弧内：位相
ω = 2π f
角周波数
ψ
=
( z, t ) A exp j (ωt − kz + φ )
ｊ：虚数単位：Imaginary unit
=
A exp j (ωt − kz )  A =
A > 0, arg A =
φ
複素振幅
=
A
=
A
e jφ Ae jφ
絶対値
偏角：Argument
kz )  A cos (ωt − kz + φ )
Re  A exp j (ωt −=
注意：実数表示と複素数表示
振幅：赤色（正実数）
青色（複素数）
光通信工学２02－4
周波数と波長（真空中）
注意：色は周波数（角周波数）で異なる
磁場H
H：磁場の強さ
位相速度
Phase velocity
周波数
γ線 Hz
ω
X線 1018
vp =
電場E
紫外線
可視光線 1015
赤外線
k
波長
Wavelength
周波数
Frequency
角周波数
Angular frequency
λ  1µ m
k
進行方向
=
f ω=
2π 1 T  1015 Hz
マイクロ波 109
2π
=
ω 2=
πf
T
波数
Wavenumber
k = 2π λ
真空中の光速：位相速度
Speed of light in vacuum
=
v p c0  3 ×108 m / s
1012
短波 106
位相速度：周波数と波長の積
波長
m
10-9
10-6
遠赤外線
10-3
1
100
電磁波の種類
光は電磁波の一種
f λ =v p → ωλ =2π v p
約束：下ツキ「０」＝真空中
光通信工学２02－5
単位
１０の乗数を表す接頭語
呼び方
呼び方
1018
exa
E
10-3
milli
m
1015
peta
P
10-6
micro
µ
1012
tera
T
10-9
nano
n
109
giga
G
10-12
pico
p
106
mega
M
10-15
femto
f
103
kilo
k
10-18
atto
a
可視光スペクトル
真空中の波長
屈折率 = 1
400nm
注意：
•
•
500nm
600THz
600nm
700nm
光ファイバ通信
低損失帯(0.2-0.3dB/km)
1.3-1.55µm
µｍ：マイクロメートル
f λ =v p → ωλ =2π v p
「色は周波数（角周波数）で異なる」と覚えましょう。
「波長（波数）で異なる」としても構いませんが、本講義では「角周波数」を頻繁に使用します。
光通信工学２02－6
進行波：前進・後退波
前進（進行）波：Forward traveling wave
注意：符号
k >0
後退（進行）波：Backward traveling wave
ψ=
( z, t ) A cos (ωt − kz + φ )
波の速度
位相速度：201
ψ=
( z, t ) A cos (ωt + kz + φ )
等位相位置が移動する速度なので位相速度と呼ぶ場合もある。
∆z ω
= → vp ≡ c
∆t → 0 ∆t
k
k >0
平面波なら：振幅一定
注意：実数表示と複素数表示
振幅：赤色（正実数）
青色（複素数）
v p = lim
光速の場合：記号cで表わす場合が多い。
ラテン語 で速さを意味するceleritasの頭文字
光通信工学２02－7
前進波と後退波：光の場合
電場E
進行方向ｋ：電場E→磁場H（右ねじ）
磁場H：ｋ→電場E
平面波：定数振幅（波の拡がり無限大、非現実的だけど）
k >0
前進波：直線偏光
x
Ex=
( z, t ) E0 cos (ωt − kz + φ )
H y ( z, t )
=
( E0 η ) cos (ωt − kz + φ )
後退波：直線偏光
前進波
z
赤：正実数
Ex=
( z, t ) E0 cos (ωt + kz + φ )
磁場H
H y ( z, t ) =
− ( E0 η ) cos (ωt + kz + φ )
磁場Hを-y方向
y
後退波
波動インピーダンス：205
電場E
x
ベクトル表示をしましょう！
磁場H
=
H
1
ωµ
(k × E) ,
k •=
E 0
係数：205：μ：透磁率
磁場H：ｋ→電場E
 E =( Ex ( z , t ) , 0, 0 ) , H =( 0, H y ( z , t ) , 0 ) , k =( 0, 0, ± k ) , k > 0
z
y
光通信工学２02－8
ベクトル表示：光波の場合
関係式：電場Eと磁場Hと波数ベクトル
=
H
1
ωµ
(k × E) ,
電場E
進行方向ｋ：電場E→磁場H（右ねじ）
磁場H：ｋ→電場E
k •=
E 0
x
(
)
H = ( 0, H ( z , t ) , 0 )
E = E ( z , t ) x , 0, 0
y
前進波
電場E
z
磁場H
y
k =( 0, 0, ± k ) , k > 0
一般化
E
E = ( Ex , E y , Ez )
H = (Hx, Hy, Hz )
k = ( kx , k y , kz )
前進波
k
磁場H
H
光通信工学２02－9
スネルの法則
Snell's law ：屈折
思い出してみましょう！
スネルの法則
波数ベクトル
入射波
=
n1 sin θ1 n2 sin θ 2 , n1 > n2 → θ1 < θ 2
c0
c0
=
, n2
c1
c2
=
 n1
約束：下ツキ「０」＝真空中
真空中の光速（位相速度）
入射波：波数ベクトルの大きさ（201-13）
vp =
ki
ω
k
ω
c0 ω
ω
ki =
=
=
n1k0 > 0,  k0 =
c1 c1 c0
c0
反射波：波数ベクトルの大きさ
k=
r
ω
c ω
= 0 = n1k0 > 0
c1 c1 c0
媒質中の光速（位相速度）：波数ベクトルの大きさ
波数ベクトル
反射波
y
θ1
θ1
kr
媒質１：n1
n1 > n2
媒質２：n2
kt
波数ベクトル
透過波
x
θ2
透過波：波数ベクトルの大きさ
k=
t
ω
c ω
= 0 = n2 k0 > 0
c2 c2 c0
n1 > n2 → c1 < c2 ⇔ k i = k r > k t
光通信工学２02－10
スネルの法則が教えてくれること、教えてくれないこと
教えてくれること
• 入射波、透過波：波数ベクトル情報のみ。
• つまり、屈折率が異なる媒質の境界で透過波がどちらの方向に進むのかを教えてくれる。
反射波：平面波近似
y
入射波：平面波近似
波数ベクトルの位置依存性無
z軸：奥から手前
kr
ki
ki
θ1
等位相面
θ1
境界面：z-x
屈折率
媒質１：n1
x
屈折率
θ2
電場E：境界面内方向成分（z軸）のみ
透過波：平面波近似
媒質１：n2
kt
スネルの法則で教えてくれないこと：
「光」の特徴である波としての電場Ｅや磁場Hの振る舞い（振幅情報）？
添え字：Incident（入射）, Reflection（反射）, Transmission（透過）
光通信工学２02－11
反射と透過を考える：s偏光成分 senkrecht（垂直）
簡単のため
電場E：境界面内方向成分（z軸）のみ
波数ベクトル：紙面内方向成分のみ
磁場H：202-9
H
=
1
ωµ
E = ( 0, 0, Ez ) , k =
(k × E) →
1
ωµ0
( k , k , 0) ,
x
( k E , −k E , 0 )
y
z
x
µ = µ0
反射波：平面波近似
Ei = ( 0, 0, Eiz )
Er = ( 0, 0, Erz )
z軸：奥から手前
kr
ki
θ1
等位相面
非磁性体：ガラスなど
真空中の透磁率
z
y
入射波：平面波近似
波数ベクトルの位置依存性無
ki
k = k > 0, E • k = 0
y
θ1
境界面：z-x
屈折率
媒質１：n1
x
反射前後
屈折率
θ2
ki → kr
透過波：平面波近似
kt
これから反射波と透過波の振幅を求めましょう！但し、電場Eのみ。
Key words：振幅反射率、振幅透過率
媒質１：n2
Et = ( 0, 0, Etz )
光通信工学２02－12
電場Eを複素数表示で記述：z成分のみ
添え字：Incident（入射）
Reflection（反射）, Transmission（透過）
青：複素振幅（定数）
入射電場Ｅ（z成分のみ）：平面波近似
Ei
=
Eiz ( r, t ) Ei exp j (ω=
t − k i r )
( 0, 0, Eiz ) ,
Eiz ( r, t ) ≡ Eiz ( x, y, z , t )
= Ei exp j (ωt − kix x − kiy y )
ki
=
k , k , 0) ( n k
(=
ix
iy
=
k i n1k0 > 0
1 0
y
sin θ1 , −n1k0 cos θ1 , 0 )
ki
Er = ( 0, 0, Erz )
Erz=
( r, t ) Er exp j (ωt − krx x − kry y )
k , k , 0) ( n k
(=
rx
ry
1 0
透過電場E（z成分のみ）：平面波近似
k , k , 0) ( n k
(=
tx
ty
kr
Et = ( 0, 0, Etz )
2 0
媒質１：n1
n1 > n2
媒質２：n2
kt
波数ベクトル
透過波
sin θ1 , n1k0 cos θ1 , 0 )
Etz=
( r, t ) Et exp j (ωt − ktx x − kty y )
=
kt
θ1
参照：202-10
反射電場Ｅ（z成分のみ）：平面波近似
=
kr
θ1
x
θ2
注意
真空中の波数
=
 k0
sin θ 2 , −n2 k0 cos θ 2 , 0 )
屈折率
ω
c0
c0
=
, n1 =
, n2
c0
c1
c2
光通信工学２02－13
境界条件の導出：205
境界条件：結論のみ
=
k
磁場Hは簡単！：202-12
k , 0 ) , E ( 0, 0,
=
E ), H
( k ,=
x
y
z
1
ωµ0
( k E , −k E , 0 )
y
z
x
z
電場Eの境界条件：電場Eの面内方向成分（z成分）が一致
媒質１側：入射波と反射波の合成波
媒質２側：透過波
@y 0
Eiz ( r, t ) + Erz (=
r, t ) Etz ( r, t ) , =
波数ベクトル
入射波
ki
波数ベクトル
反射波
y
θ1
θ1
kr
磁場Hの境界条件：磁場Hの面内方向成分（ｘ成分）が一致
H ix ( r, t ) + H rx (=
r, t ) H tx ( r, t ) , =
@y 0
kiy Eiz ( r, t ) + kry Erz ( r, t ) =
kty Etz ( r, t )
入射電場E
z成分のみ
反射電場E
z成分のみ
透過電場E
z成分のみ
Eiz=
( r, t ) Ei exp j (ωt − kix x − kiy y )
Erz=
( r, t ) Er exp j (ωt − krx x − kry y )
Et=
Et exp j (ωt − ktx x − kty y )
z ( r, t )
注意：未知数が２個だから方程式が２個、
媒質１：n1
n1 > n2
媒質２：n2
kt
波数ベクトル
透過波
x
θ2
求めたい関係？
•
複素振幅反射率と複素振幅透過率
=
rs
Et
Er
=
, ts
Ei
Ei
光通信工学２02－14
計算：電場E
電場Eの境界条件：電場Eの面内方向成分（z成分）が一致
青：複素振幅（定数）
Eiz ( r, t ) + Erz (=
r, t ) Etz ( r, t ) , =
@y 0
202-13
y =0
=
Eiz ( r, t ) Ei exp j (ωt − kix x − kiy y ) →
Ei exp j (ωt − kix x )
y =0
=
Er exp j (ωt − krx x )
Erz ( r, t ) Er exp j (ωt − krx x − kry y ) →
y =0
=
Etz ( r, t ) Et exp j (ωt − ktx x − kty y ) →
Et exp j (ωt − ktx x )
202-13
kix = n1k0 sin θ1
krx = n1k0 sin θ1
スネルの法則
n1 sin θ1 = n2 sin θ 2
→
k=
n
k
sin
θ
k=
n1k0 sin θ1 → k=
k=
ktx
tx
tx
ix
rx
2 0
2
関係式：電場Eの複素振幅
Ei + Er =
Et
波数ベクトル：面内方向成分（x成分）が一致
添え字：Incident（入射）
Reflection（反射）, Transmission（透過）
光通信工学２02－15
フレネルの式 Fresnel’s equation
磁場Hの境界条件：磁場Hの面内方向成分（ｘ成分）が一致
省略：p偏光成分：parallel（平行）
参考文献：本宮「波動光学の風景」
O plus E, 29, 11, p.1168 (2007)
O plus E, 29, 12, p.1286 (2007)
kiy Eiz ( r, t ) + kry Erz (=
r, t ) kty Etz ( r, t ) , @
=
y 0
202-14
kiy Ei + kry Er =
kty Et
細かい計算手順は省略
202-13
−kry =
−n1k0 cos θ1
kiy =
kiy ( Ei − Er ) =
kty Et
kty = −n2 k0 cos θ 2
青：複素振幅（定数）
関係式：電場Eの複素振幅
Ei + Er =
Et
複素振幅反射率と複素振幅透過率：実数
2
2
n1 cos θ1 − n2 cos θ 2 n ≡ n 2 / n1 cos θ1 − n − sin θ1
Er kiy − kty
rs =
=
→

→
n1 cos θ 2 + n2 cos θ 2
Ei kiy + kty
cos θ1 + n 2 − sin 2 θ1
2kiy
Et
2n1 cos θ1
2 cos θ1
n ≡ n 2 / n1
ts =
=
→

→
Ei kiy + kty
n1 cos θ1 + n2 cos θ 2
cos θ1 + n 2 − sin 2 θ1
光通信工学２02－16
フレネルの式が教えてくれること（一例）：反射光の位相変化
スネルの法則のみでは分かりません
屈折率の高い媒質から低い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において位相は不変
屈折率の低い媒質から高い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において位相がπシフト
位相シフトがなければ、入射波と反射波は反
射点で位相ずれ無し。山なら山、谷なら谷
位相シフトがπの場合、入射波と反射波は反
射点で位相シフト。山なら谷、谷なら山
反射波
反射波
入射波
屈折率高い
屈折率低い
入射波
屈折率低い
屈折率高い
入射波と透過波は屈折率の大小に係わらず位相シフト無し。
これを、入射波と透過波の位相は連続であると言う。
透過波
光通信工学２02－17
複素振幅反射率と屈折率の関係
フレネルの式 Fresnel’s equation
y
波数ベクトル
入射波
波数ベクトル
反射波
ki
θ1
θ1
kr
=
ts
媒質１：n1
媒質２：n2
θ2
x
kt
波数ベクトル
透過波
複素振幅透過率：全反射を除く
ts =
2
2
Er cos θ1 − n − sin θ1
=
rs =
Ei cos θ1 + n 2 − sin 2 θ1
2 cos θ1
cos θ1 + n 2 − sin 2 θ1
Et

→ >0
Ei
n 2 −sin 2 θ1 > 0
注意：屈折率の大小に係わらず成立
但し、青色（複素振幅）、複素数/複素数 = 正実数
Et
2 cos θ1
=
Ei cos θ1 + n 2 − sin 2 θ1
 n ≡ n2 n1
複素振幅反射率：屈折率の高い媒質から低い媒質へ入射する場合
n <1
cos θ1 > n 2 − sin 2 θ1
n1 > n2 →
=
rs Er Ei > 0
複素数/複素数 = 正実数
複素振幅反射率：屈折率の低い媒質から高い媒質へ入射する場合
n >1
n1 < n2 →
cos θ1 < n 2 − sin 2 θ1
=
rs Er Ei < 0
複素数/複素数 = 負実数
光通信工学２02－18
反射光の位相変化：複素数表示と実数表示
202-13
入射電場Ｅ（z成分のみ）：平面波近似
Eiz=
( r, t ) Ei exp j (ωt − kix x − kiy y )
→ Ei cos (ωt − kix x − kiy y + φi )
ki
jφi
=
 Ei E=
Ei e jφi , Ei > 0
i e
反射電場Ｅ（z成分のみ）：平面波近似
Erz=
( r, t ) Er exp j (ωt − krx x − kry y )
→ Er cos (ωt − krx x − kry y + φr )
jφr
波数ベクトル
入射波
波数ベクトル
反射波
y
θ1
θ1
kr
媒質１：n1
n1 > n2
媒質２：n2
kt
x
θ2
波数ベクトル
透過波
青色（複素数）
赤色（正実数）
jφr
 Er E=
=
Er e , Er > 0
r e
複素振幅反射率：屈折率の
高い媒質から低い媒質へ入
射する場合
rs = Er Ei
複素数/複素数 = 正実数
→ φr =
φi
複素振幅反射率：屈折率の
高い媒質から低い媒質へ入
射する場合
rs = Er Ei
複素数/複素数 = 負実数
→ φr =φi + π
位相は不変（連続）
位相がπシフト
光通信工学２02－19
結論：反射光の位相変化（s偏光）
実はp偏光でも状況は同じであるが、やや座標系が複雑
になるためちょっと解釈が難しい。
参考文献：河合「光学設計のための基礎知識」p.145、
オプトロニクス社
屈折率の高い媒質から低い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において位相は不変
屈折率の低い媒質から高い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において位相がπシフト
位相シフトがなければ、入射波と反射波は反
射点で位相ずれ無し。山なら山、谷なら谷
位相シフトがπの場合、入射波と反射波は反
射点で位相シフト。山なら谷、谷なら山
反射波
反射波
入射波
屈折率高い
屈折率低い
入射波
屈折率低い
屈折率高い
206：光の干渉で「この結論」を利用します。
透過波
光通信工学２02－20