B41. カルダノの方法による3次方程式の解法

埼玉工業大学
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
テーマ B41：
カルダノの方法による 3 次方程式 a3x3+ a2x2+ a1x+ a0=0 の解法
－1/7
カルダノの方法による 3 次方程式 a3 x3  a2 x 2  a1 x  a0  0 の解法
3 次方程式
a3 x3  a2 x 2  a1 x  a0  0 (1)
の根を求める方法を解説します．(1)式を a3 で割ると
x3 
a2 2 a1
a
x  x 0 0
a3
a3
a3
A2 
a2
,
a3
ここで
A1 
a1
,
a3
A0 
a0
a3
とおくと
x3  A2 x 2  A1 x  A0  0
次に，x2 の項を消去するため，
x y
A2
3
(2)
とおき，(1)式に代入すると
3
2
A 
A 
A 



 y  2   A2  y  2   A1  y  2   A0  0
3 
3 
3 



(3)
ここで，左辺第 1 項は
3
2
3
A 
A
A

3
2
 y  2   y  A2 y  2 y  2
3 
3
27

2
A 
2 A2
A

2
y 2
y 2  y 
3 
3
9

2
となるので，(3)式に代入すると
2
y 3  A2 y 2 
3
2
3
A2
A
2 A2
A
AA
y  2  A2 y 2 
y  2  A1 y  1 2  A0  0
3
27
3
9
3
2
2
3
3
A2
2 A2
A
A
AA
y
y  A1 y  2  2  1 2  A0  0
3
3
27
9
3
2
2
3
3
A

2 A2
A
A
AA
y 3   2 
 A1  y  2  2  1 2  A0  0
3
27
9
3
 3

y 3  A2 y 2  A2 y 2 
3
 A2 2

2 A2
AA


 y  
 A1  y 
 1 2  A0  0
27
3
 3

3
ここで，
埼玉工業大学
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
カルダノの方法による 3 次方程式 a3x3+ a2x2+ a1x+ a0=0 の解法
－2/7
2
e1  
A2
 A1
3
3
2 A2
AA
e0 
 1 2  A0
27
3
とおくと，次の 3 次方程式が得られます．
y 3  e1 y  e0  0
次に
y uv
とおいて，3 次方程式に代入すると
y 3  e1 y  e0  u  v   e1 u  v   e0
3
 u 3  3u 2v  3uv 2  v 3  e1 u  v   e0
 u 3  v 3  e0  3uv u  v   e1 u  v 
 u 3  v 3  e0  3uv  e1 u  v 
となります．よって，
u 3  v3  e0  3uv  e1 u  v   0
が成立するには，
u 3  v3  e0  0
(4)
3uv  e1  0
(5)
でなければなりません．(5)式から
v
e1
3u
(6)
となるので，(6)式を(4)式に代入すると
3
e 
u   1   e0  0
 3u 
3
3
e 
u 6  e0 u 3   1   0
3
u 3 に対して 2 次方程式となるので，根の公式より
3
e 
2
 e0  e0  4 1 
2
3
e0
 e0   e1 
3
3
u 
     
2
2
 2 3
ここで
2
3
e
e  e 
u   0   0    1   ru ei u  ru cos  u  i sin  u 
2
 2 3
3
埼玉工業大学
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
カルダノの方法による 3 次方程式 a3x3+ a2x2+ a1x+ a0=0 の解法
－3/7
とおくと，(4)式より
2
3
2
3
 e
e0
 e0   e1  
 e0   e1 
0
v   e0  u  e0                 
2
 2 3 
 2 3
 2

3
3
 rv ei v  rv cos  v  i sin  v 
となります．u3 と v3 は共役複素数であり，それぞれの 3 乗根 u，v も共役複素数となりま
す．3 乗根のうちの 1 つは
u  3 ru e
v  rv e
i
u
3
i
3
v
3
 
 
 3 ru cos u  i sin u 
3
3

 
 
 3 ru cos u  i sin u 
3
3

となります．さらに 1 の 3 乗根を w とするとき，
we
2
i 
3
w2  e
4
i 
3
2
2
 cos   i sin 
3
3
4
4
 cos   i sin 
3
3
とおくと，複素数の性質から 3 乗根の残りの 2 つのうち，uw と vw2，uw2 と vw の組合せが
共役複素数となります（例題の数値を参照してください）．よって，y の解は
y1  u  v  u1  v1
y2  uw  vw2  u 2  v3
(7)
y3  uw  vw  u3  v2
2
となります．u，v に虚数部が含まれるかどうかは判別式で判定することができます．
判別式が
2
3
 e0   e1 
    0
2 3
のとき，実数部のみで虚数部がなく，
2
3
2
3
e
e  e 
ru   0   0    1 
2
 2 3
e0
e  e 
  0   1
2
 2 3
u  v  0
rv  
となります．次に，
2
3
 e0   e1 
    0
 2 3
埼玉工業大学
カルダノの方法による 3 次方程式 a3x3+ a2x2+ a1x+ a0=0 の解法
－4/7
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
のとき，虚数部が存在し
2
2
2
2
2
3
3

 e0    e0   e1  
 e0 
 e0   e1 
ru  rv                     
 2   2 3 
2
2 3


e
 0
e
cos  u  2   0
ru
2 ru




e0
 2 ru
 u  cos 1  
 v   u
となります．以上より，(7)式の各項は次式で与えられます．
u1  u  3 ru e
i
u
 
 
 3 ru cos u  i sin u 
3
3

3
u 2  uw  ru e
i
u
3
3
u 3  uw 2  3 ru e
v1  v  rv e
3
i
v
u
3
i
u
3
e
w 2  3 ru e
i
2
i 
3
u
3
e
 
2 
2 

 3 ru cos u     i sin  u    
 3 3 
  3 3 
4
i 
3
 
4 
4 

 3 ru cos u     i sin  u    
 3 3 
  3 3 
 
 
 3 rv cos v  i sin v 
3
3

3
v 2  vw  rv e
i
w  ru e
3
i
3
v
3
v3  vw 2  3 rv e
i
i
v
w  rv e e
3
v
3
3
i
2
i 
3
v
w 2  3 rv e 3 e
 
2 
2 

 3 rv cos v     sin  v    
 3 3 
  3 3 
4
i 
3
 
4 
4 

 3 rv cos v     i sin  v    
 3 3 
  3 3 
最終的に x の解は，(2)式より
A2
3
A
x2  u2  v3  2
3
A2
x3  u3  v2 
3
x1  u1  v1 
と求まります．
まとめ
3 次式を a3 x3  a2 x 2  a1 x  a0  0 とするとき
A2 
a2
,
a3
A1 
a1
,
a3
A0 
a0
a3
埼玉工業大学
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
カルダノの方法による 3 次方程式 a3x3+ a2x2+ a1x+ a0=0 の解法
－5/7
2
e1  
A2
 A1
3
3
2 A2
AA
e0 
 1 2  A0
27
3
2
3
e  e 
ここで，判別式が  0    1   0 のとき，
2 3
2
3
2
3
e
e  e 
ru   0   0    1 
2
 2 3
e0
e  e 
  0   1
2
 2 3
u  v  0
rv  
2
3
e  e 
また，  0    1   0 のとき，
 2 3
2
2
e 
e  e 
ru  rv   0    0    1 
2
 2 3
3
e0
e
cos  u  2   0
ru
2ru


e0
 2ru
 u  cos 1  



 v   u
次に

 

u1  3 ru cos u  i sin u 
3
3

 
2 
2 

u 2  3 ru cos u     i sin  u    
 3 3 
  3 3 
 
4 
4 

u3  3 ru cos u     i sin  u    
 3 3 
  3 3 

 

v1  3 rv cos v  i sin v 
3
3

 
2 
2 

v2  3 rv cos v     sin  v    
 3 3 
 3 3 
 
4 
4 

v3  3 rv cos v     i sin  v    
 3 3 
 3 3 
埼玉工業大学
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
カルダノの方法による 3 次方程式 a3x3+ a2x2+ a1x+ a0=0 の解法
－6/7
とおくと，解は
A2
3
A
x2  u2  v3  2
3
A2
x3  u3  v2 
3
x1  u1  v1 
となります．
例題． x3  6 x2  11x  6  x  1x  2x  3  0 を解け．
解答
係数は
a3  1, a2  6, a1  11, a0  6
a
6
a 11
A2  2 
 6, A1  1   11,
a3
1
a3 1
a0  6

 6
a3
1
 6   11  1
A2
 A1  
3
3
2
e1  
A0 
2
2 A2
AA
2 6  11   6 
e0 
 1 2  A0 

  6   0
27
3
27
3
3
3
判別式は
2
3
2
3
 e0   e1   0    1 
            0.03703703 7  0
 2   3  2  3 
より負となるので
2
2
3
e 
e  e 
ru  rv   0    0    1   0   0.03703703 7  0.19245009
2
 2 3

e0 
0

 
  cos 1  

 2  0.19245009  2
 2ru 
 u  cos 1  
 v   u
 


 

u1  3 ru cos u  i sin u   3 0.19245009 cos  i sin   0.5  0.28867513 5i
3
3
6
6


 
2 
2 

u 2  3 ru cos u     i sin  u    
 3 3 
  3 3 
  2 
  2 
 3 0.19245009 cos     i sin    
 6 3 
 6 3 
5
5 

 3 0.19245009 cos
 i sin
  0.5  0.28867513 5i
6
6 

埼玉工業大学
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
カルダノの方法による 3 次方程式 a3x3+ a2x2+ a1x+ a0=0 の解法
－7/7
 
4 
4 

u 3  3 ru cos u     i sin  u    
 3 3 
  3 3 
  4 
  4 
 3 0.19245009 cos     i sin     
 6 3 
 6 3 
9
9 

 3 0.19245009 cos
 i sin
  0.57735026 9i
6
6 


 




v1  3 rv cos v  i sin v   3 0.19245009 cos  i sin   0.5  0.28867513 5i
3
3
6
6


 
2 
2 

v2  3 rv cos v     sin  v    
 3 3 
 3 3 
  2 
  2 
 3 0.19245009 cos     i sin     
 6 3 
 6 3 
5
5 

 3 0.19245009 cos
 i sin
  0.57735026 9i
6
6 

 
4 
4 

v3  3 rv cos v     i sin  v    
 3 3 
 3 3 
  4 
  4 
 3 0.19245009 cos     i sin     
 6 3 
 6 3 
9
9 

 3 0.19245009 cos
 i sin
  0.5  0.28867513 5i
6
6 

よって，解は
A2
6
 0.5  0.28867513 5i  0.5  0.28867513 5i 
3
3
3
A
6
x2  u2  v3  2  0.5  0.28867513 5i  0.5  0.28867513 5i 
1
3
3
A
6
x3  u3  v2  2  0.57735026 9i  0.57735026 9i 
2
3
3
x1  u1  v1 
研究室のフリーウェアーのページに，本計算法に基づき，3 次元方程式の解を求めるこ
とができる Excel スプレッドシートを公開しています．
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/CardanoCubicEquation.pdf
Copyright ⓒ 2014 小西克享, All Rights Reserved.
個人的な学習の目的以外での使用，転載，配布等はできません．
お願い： 本資料は，埼玉工業大学在学生の学習を支援することを目的として公開しています．本資
料の内容に関する本学在学生以外からのご質問・ご要望にはお応えできません．