講義資料No.2

解析 B 資料 No. 2
担当：松田 晴英
1
1.3
指数関数・三角関数
三角関数
平面上で，半直線 OP が点 O を中心として回転するとき，この半直線を動径といい，動
径のはじめの位置 OX を始線といいます。
点 O のまわりの回転には 2 つの向きがあり，時計の針と反対向きの回転を正の向き，同
じ向きの回転を負の向きといいます。動径 OP の回転の量に，正の向きの回転ならば正の
符号を，負の向きの回転ならば負の記号をつけて表し，それを動径 OP の表す角といい
ます。
P
正の角
X
O
負の角
座標平面上で，原点 O を中心とし半径 r の円をかきます。x 軸の正の向きを始線とした
とき，一般角 θ の動径がこの円と交わる点を P(X, Y ) とします。このとき，
sin θ =
Y
,
r
cos θ =
X
,
r
tan θ =
Y
X
(1)
と定義します。
y
r
θ
X
-r
O
P(X, Y)
Y
r x
-r
さらに，sin θ, cos θ, tan θ の逆数を，それぞれ cosec θ, sec θ, cot θ と書き，θ のコセ
カント，セカント，コタンジェントといいます。
cosec θ =
1
,
sin θ
sec θ =
1
,
cos θ
cot θ =
1
tan θ
(2)
(1), (2) で定義された θ の関数を三角関数といいます。三角関数の符号は，θ がどの象
限にあるかによって図のように定まります。
1
sinθの符号
y
cosθの符号
y
x
O
tanθの符号
y
x
O
x
O
例題 右図のような AB=1 の直角三角形 ABC において，次の問いに答えよ。
(1) BC の長さを sin A を用いて表せ。
BC
BC
解答 sin A =
=
だから，BC = sin A
AB
1
B
1
(2) AC の長さを cos A を用いて表せ。
AC
AC
解答 cos A =
=
だから，AC = cos A
AB
1
A
A
C
(3) (1)，(2) を用いて tan A を sin A, cos A を用いて表せ。
BC
sin A
解答 tan A =
=
AC
cos A
(4) 三平方の定理 AC2 + BC2 = AB2 を使って sin A, cos A がみたす関係式を導け。
解答 (1), (2) より，AC = cos A，BC = sin A だから，
1 = AB2 = AC2 + BC2 = cos2 A + sin2 A
¶
³
三角比の基本的性質
tan A =
µ
sin A
,
cos A
cos2 A + sin2 A = 1,
1 + tan2 A =
1
cos2 A
´
練習問題 1. 右下の図において，次の問いに答えよ。
B
(1) 直角三角形 ABC において，BC，AC を x, y を用いて表せ。
1
E
F
x
y
(2) 直角三角形 ABE において，BE，AE を x を用いて表せ。
2
D
A
C
(3) 直角三角形 BEF において，BF，EF を x, y を用いて表せ。
(4) 直角三角形 AED において，AD，DE を x, y を用いて表せ。
¶
³
三角比の基本的性質 II
任意の角 x, y に対して，次の関係式が成り立つ。
(a) sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y (加法定理)
(b) cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y (加法定理)
µ
´
加法定理を使うと，2 倍角の公式，3 倍角の公式，積和公式，和積公式が得られます。
¶
³
合成公式
任意の角 x, y に対して，次の関係式が成り立つ。
a sin x + b cos x =
ここで，α は sin α =
√ b
a2 +b2
√
a2 + b2 sin(x + α)
をみたす角
µ
1.4
´
逆三角関数
π
π
5 x 5 としたとき，y = sin x は 1 対 1 の関数になるので，逆関数を定義すること
2
2
ができます。この関数を y = sin1 x または，y = arcsin x と表わし，逆正弦関数 (arc sine)
といいます。つまり，
³ π
π´
y = sin−1 x ⇐⇒ x = sin y
− 5x5
2
2
−
という関係が成り立ちます。同様にして，逆余弦関数 (arc cosine) ，逆正接関数 (arc tangent) を以下のとおりに定義します。
y = cos−1 x ⇐⇒ x = cos y
y = tan−1 x ⇐⇒ x = tan y
3
(0 5 x 5 π)
³ π
π´
− 5x5
2
2