テーマ B05： 中学 3 年生で学習した数の概念 中学 3 年生では次のよう

埼玉工業大学
テーマ B05：
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
中学 3 年生で学習した数の概念－1/5
中学 3 年生で学習した数の概念
中学 3 年生では次のような概念を学習しました．
1. 式の計算
1.1 展開公式
(1) 展開：積の形で書かれた式を和の形で表わすこと．
例． a  bc  d   ac  d   bc  d   ac  ad  bc  bd
(2) x  a x  b の展開
x  ax  b  x 2  a  bx  ab
(3) 平方公式：
a  b2  a 2  2ab  b 2
a  b2  a 2  2ab  b 2
(4) a  ba  b の展開
a  ba  b  a 2  b 2
1.2 因数分解
(1) 因数：整数がいくつかの整数の積に分解できるとき，分解された１つ１つの整数をも
との数の因数という．
例 1． 24  2 12 より，2 と 12 は 24 の因数である．
例 2． 24  3  8 より，3 と 8 は 24 の因数である．
(2) 素数：それよりも小さい自然数で表わすことができない自然数を素数という．素数は 1
かその数自身の他には自然数を因数にもたない．ただし，1 は素数に含めない．
例 1． 2  1 2 より，2 は素数である．
例 2． 3  1 3 より，3 は素数である．
例 3． 4  2  2 より，4 は 2 と 2 の積であり，素数ではない．
例 4． 5  1 5 より，5 は素数である．
例 5． 6  2  3 より，6 は 2 と 3 の積であり，素数ではない．
102 以下の素数は次のとおり
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91, 97, 101
自然数を表に並べると，素数は黄色で表わされる．
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21 22 23 24
27 28 29 30
33 34 35 36
39 40 41 42
45 46 47 48
51 52 53 54
57 58 59 60
63 64 65 66
69 70 71 72
75 76 77 78
81 82 83 84
87 88 89 90
93 94 95 96
99 100 101 102
(3) 素因数：素数である因数．
(4) 素因数分解：自然数を素数の積で表わすこと．
素因数分解を行うには，小さな素数から順にわっていくとよい．
例．36 を素因数分解すると
2) 36
2) 18
3)
9
3
より， 36  2  2  3  3  2 2  32 となる．
(5) 因数分解：多項式をいくつかの因数の積で表わすこと．
例． x 2  1  x  1x  1 なので， x  1 と x  1 は x 2  1 の因数である．
(6) 因数分解の公式
ax  ay  ax  y 
a 2  b 2  a  ba  b
a 2  2ab  b 2  a  b
2
a 2  2ab  b 2  a  b
2
x 2  a  bx  ab  x  a x  b
2. 平方根
2.1 平方根
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(1) 平方根：2 乗すると a になる数を a の平方根（へいほうこん）という．
x 2  a のとき，平方根は x となる．ただし，x の値は，絶対値が等しい正の数と負の数の
2 つとなる．例えば，9 の平方根は 3 と-3 の 2 つである．
(2) 根号：平方根を記号√（ルートと読む）を用いて表わす．記号√を根号（こんごう）
という．
例 1． x 2  a のとき，x は a と，  a の 2 つとなる． a はルート a と読み，  a はマ
イナスルート a と読む．
例 2．2 の正の平方根は 2 と書く．値は 2  1.414 となる．負の平方根は  2 と書く．
値は  2  1.414 となる．
2.2 平方根の値
(3) 平方根の値の覚え方
2  1.41421356 ひとよひとよにほとみごろ
3  1.7320508 ひとなみにおごれや
4 2
5  2.2360679ふじさんろくにおうむなく
6  2  3 として計算する．
2.3 平方根の乗法・除法
(1) 平方根の積と商
a，b が正の数のとき， a  b  ab ，
a
a

b
b
(2) 記号×の省略
a  b  a b と表わす．
2.4 根号を含む式の計算
(1) 根号を含み式の和と差
√の部分が同じ場合，次のようにまとめることができる．
2 a  3 a  2  3 a  5 a
2 a  3 a  2  3 a   1 a   a
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(2) 根号を含む式の積
√の部分を文字と同じように考えて展開することができる．

  2  3
2 2 3 
2
2  23 2
3. 二次方程式
3.1 二次方程式とその解き方
(1) 二次方程式
x に関する二次式＝0 とおかれた方程式を x についての二次方程式という．二次方程式に
あてはまる文字の値を，その方程式の解という．二次方程式の解は 2 つ存在し，そのすべ
ての解を求めることを，二次方程式を解くという．
(2) ax 2  b の解き方
ax 2  b を変形して， x 2 
b
b
．したがって， x  
となる．
a
a
注．記号±（プラスマイナスと読む）は，解 x が
b
b
と
の 2 つあることを示す．
a
a
(3) x  m  n の解き方
2
x  m2  n から， x  m  
n ．したがって， x   n  m となる．
3.2 二次方程式と因数分解
二次方程式が A  B  0 と因数分解できると， A  0 または B  0 から解を求めることがで
きる．
例． x 2  3x  2  0 は因数分解により， x  1x  2  0 となるので，
x  1  0 または x  2  0
よって， x  1 または x  2 が解となる．
4. 関数
4.1 関数とグラフ
(1) 関数 y  ax 2
x と y の関係が， y  ax 2 （a は定数）で表わされるとき，y は x の 2 乗に比例し，比例定
数は a であるという．
(2) 放物線
放物線は限りなくのびた曲線で，線対称の図形である．対称軸を放物線の軸という．軸
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と放物線の交点を放物線の頂点という．
軸
等しい
放物線
頂点
(3) 関数 y  ax 2
①
のグラフ
関数 y  ax 2
のグラフは放物線を表わす．軸は y 軸，頂点は原点となる．
② a  0 のとき，線は x 軸の上側にあり，上に開いたグラフとなる． a  0 のとき，線は
x 軸の下側にあり，下に開いたグラフとなる．
y
O
x
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/Algebra_JH3.pdf
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