円すいの切断面、だ円・放物線・双曲線となることの証明

円すいの切断面、だ円・放物線・双曲線となることの証明
直円すいを平面で切断したときの切り口は　円すいの中心線と側線のなす角をa、
平面と中心線のなす角をbとすると
i）a < b のとき、だ円　α
β
ii）a = b のとき、放物線　iii）a > b のとき、双曲線　となる。
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切断面の観察
α＜βのとき
α＝βのとき
α＞βのとき
これらの円すいと切断面の交差線が、だ円・放物線・双曲線であることを証明します。
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証明で利用する性質
①「空間の 1 点Ａから球へ接線を引いたとき
点Ａから接点までの距離は接点の位置に
かかわりなく同じである」
②二次曲線の幾何的性質
Ｐを曲線上の任意の点、Ｆ，Ｆ’を焦点とすると
「だ円： ＰＦ+ＰＦ’が一定値」
「双曲線： ＰＦ-ＰＦ’が一定値」
「放物線： ＰＦ＝ＰＨ（ＰＨは準線への距離）
」
①を利用して②を証明します。
Type-XH 3050527
１． α＜βのとき、だ円であることの証明
円すいに内接し、切断面に接する２つの球Ｃ，Ｃ’を考えて、切断面と球の接点を
それぞれＦ，Ｆ’とする。切断面と円すいの交差線上の任意の点をＰとする。
「ＰＦ＋ＰＦ’＝(一定) 」を証明したら、交差線はだ円であるといえる。
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１）切断面と円すいに接する２つの球
Ｃ，Ｃ’を描く。球と切断面との交点を
２）線分ＰＦおよびＰＦ’を引く（図２）
それぞれＦ，Ｆ’とする。
（図１）
図１
図２
３）円すいの頂点と点Ｐを通る直線が球Ｃ，球Ｃ’に接する接点をそれぞれＡ，Ｂとする。
ＰＦおよびＰＡは点Ｐから球Ｃへの接点までの距離であるから、ＰＦ＝ＰＡ
同様に ＰＦ’とＰＢは球Ｃ’への接点の距離であるから ＰＦ’＝ＰＢ （図３、図４）
よってＰＦ＋ＰＦ’＝ＡＰ＋ＰＢ＝ＡＢ（一定）となり、点Ｐの描く曲線はだ円である。
図３
図４
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２． α＝βのとき、放物線となることの証明
１）円すいに内接し切断面に接する球を考え、切断面との
交点をＦとする。交差線上の任意の位置に点Ｐをとり
Ｐから球へ円すいの頂点を通るような接線ＰＡを引く。
ＰＡもＰＦも球への接線であるから、
ＰＡ＝ＰＦ…①
２）球と円すいが接してできる図形（円）を通る平面を
πとし、πと切断面の交差直線Ｌへ点Ｐから
垂線ＰＢを引く。また点Ｐから平面πへ垂線ＰＨを引く。
α＝βであるから∠ＡＰＨ＝∠ＢＰＨ これらから
△ＰＡＨ≡△ＰＢＨ よって ＰＡ＝ＰＢ…②
３）①②からＰＦ＝ＰＢ が成り立つので
点Ｐは切断面上においてＦを焦点、
直線Ｌを準線とする放物線上の点である。
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３． α＞βのとき、双曲線となることの証明
１）上方の円すいに内接しかつ切断面に接する球Ｃ１を考え、
切断面との接点をＦとする。また下方の円すいに内接し
切断面に接する球Ｃ２を考えて接点をＦ’とする。
交差線上の任意の位置に点Ｐをとる。
２）円すいの頂点ＯとＰを結ぶ直線を引く。この直線は
２つの球に接しており接点をＡ、Ｂとする。
ＰＡもＰＦも球Ｃ１への接線であるから、
ＰＡ＝ＰＦ…①
また同様にＰＢもＰＦ’も球Ｃ２への接線であるから
ＰＢ＝ＰＦ’…②
３）①②から|ＰＦ’－ＰＦ|＝|ＰＢ-ＰＡ|＝ＡＢ（一定）
ゆえに点Ｐは切断面上において
Ｆ、Ｆ’を焦点とする双曲線上の点である
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４．参考 円柱の平面による切断面はだ円となることの証明
図のように切断面に接し円柱に内接する２つの球を
考え、球と切断面の接点をＦ，Ｆ’とする。
切り口の曲線上の任意の点をＰとすると
ＰＦ＋ＰＦ’＝ＰＡ＋ＰＢ＝ＡＢ（一定）
となる。点Ｐの描く曲線はだ円である。
以上
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