だ円・放物線・双曲線 その1 東京医科歯科大 98 年 1（2）

「パソコンで知る高校数学」
だ円・放物線・
その１
放物線・双曲線
その１
東京医科歯科大 98 年 １（２）
（１）AB ＝２、AD = 4 の長方形ABCD の2本の対角線の交点をEとする。点E を通り、
長方形ABCD に含まれるような円の全体を考え，それらの中心が作る図形の面積S 1 を求
めよ。
（２）定点O を中心とする半径４の円をF とし、点O からの距離が２の定点H をとる。
点H を内部に含み、円F に含まれるような円全体を考え、それらの中心が作る図形の
面積S 2 を求めよ。
（１）
（１）円が長方形に内接する場合を考え，
円の中心P から最も近い長方形の辺におろ
した垂線の足をH とすると、EP = PH であ
るから点P は、辺を準線、点E を焦点とする
放物線を描く。P 0 x , y1 とすると、左図から
2
2
2
第1象限では、0 1 - y1 = x + y ゆえに点P の
1
2
軌跡は、y= 0-x + 11
2
+S 1 ＝4
Q
1
0
1
4
2
0 -x + 11dx = 3
2
（２）
（２）点H を通り円F に内接する円の中心を
P 0 x , y1 とするとPH = 4 - PO 、
これよりPH + PO = 4 ゆえに点P は，
点Oおよび点H を焦点とするだ円となる。
U 0 x - 21 2 + y 2 = 4 -U x 2 + y 2 から
2
2
0 x - 11 + y = 1
2
22
U3
よってS 2 = 2%U 3 %p= 2U 3 p
コメント：上の図から（１）の場合は EP=PH,（２）の場合は OP=4―PH がいえて，それぞれ
放物線とだ円になることがわかる。ポイントはだ円・双曲線・放物線の幾何的な性質をどのように取り
入れているかというところにある。
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だ円・放物線・
その２
放物線・双曲線
その２
東北大 98 年
2
2
2
（１）点P 0 p , q1 と円C ：0 x - a1 + 0 y- b1 = r （r > 0 ）との距離d とは、P とC 上の点
0 x , y1 との距離の最小値をいう。P がC の外部にある場合と内部にある場合に分けて、d を
表す式を求めよ。
2
2
2
2
（２）2つの円C 1 ：0 x + 41 + y = 81 とC 2 ：0 x - 41 + y = 49 から等距離にある点P の軌跡
の方程式を求めよ。
i) ひとつの円に外接し、もうひとつの円に内接する場合。
（１）円C の外部にある場合
d = U 0 p - a1 2 + 0 q- b1 2 - r
円C の内部にある場合
d = r - U 0 p - a1 2 + 0 q - b1 2
（２）左の図の i) の場合、
ii)
2 つの円に同時に内接する場合
または同時に外接する場合
U 0 x + 41 2 + y 2 - 9 = 7 - U 0 x - 41 2 + y 2
x2
y2
+
=1
これより、 2
2
8
0 4U 3 1
ii) の場合
U 0 x + 41 2 + y 2 - 9 = U 0 x- 41 2 + y 2 - 7
2
これより、x -
y2
U 15
2
= 1 （x > 0 ）
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だ円・放物線・
放物線・双曲線
北海道大 98 年
その３
その３
中心がそれぞれ、0 -2 , 01 、0 2 , 01 である半径１の円A , B を考える。円C が、A を内側に含
み、B の外側にあり、しかも、A , B の両方に接しながら動くとき、次の問に答えよ。
（１）円C の中心の軌跡を求めよ。
（２）円C が直線y = 2 に接するとき、C の半径を求めよ。
（１）の解答
円の中心を0 x , y1 とすると
U 0 x + 21 2 + y 2 + 1
2
2
=U 0 x - 21 + y - 1
これより
y2
x2-
U3
2
= 1 （x( -1 ）
名古屋大 95 年
2つの円C 1 ：x 2 + y 2 = 1 、C 2 ：0 x - 31 2 + y 2 = 4 に外接し、x 軸の上側にある半径r （r > 0 ）
の円の中心をP r とする。ただし、2つの円が外接するとは、中心間の距離がそれぞれの
円の半径の和に等しいことをいう。
（１）r を動かすとき、点P r の描く軌跡がみたす方程式を求め、軌跡の概形を図示せよ。
（２）座標平面の原点をO とするとき、直線OP rとx 軸とのなす角が60,となるのは、
r がいくつのときか。
（１）の解答
P r0 x , y1 とすると、
U x 2 + y 2 - 2 = U 0 x - 31 2 + y 2 - 2
これより
8
x-
3
2
8 9
1
2
2
2
9-
y2
U2
2
= 1 （y > 0 ）
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だ円・放物線・
放物線・双曲線
香川医科大 83 年
その４
その４
（１）2定点0 -k , 01 、0 k , 01 （k > 0 ）から距離の和が一定（＝2r 、r > k ）である点P の軌
跡を求めよ。
（２）2つの円C 1 、C 2 がある。
C 1 ：0 x+ 11 2 + y 2 = 16 、C 2 ：0 x - 11 2 + y 2 = 4a 2 （0 < a < 1 ）
図のようにC 1 に接し、C 2 とたがいに外接する円C の中心の軌跡を求めよ。
（３）(2)で求めた図形を、x軸について1回転してできる回転体の体積を求めよ。
2
2
2
2
（１）U 0 x + k1 + y + U 0 x - k1 + y = 2r から　x2
y2
+ 2
=1
2
r
r -k2
（２）F 0 1 , 01 、F - 0 -1 , 01 とし、F - から円C の中心P へ伸びる半直線と円C 1 との
交点をQ 、円C 2 と円C の交点をR とすると、
F -P + PF = F -P + PR + RF ＝F -P + PQ + RF =F -Q + RF ＝4 + 2a (一定）
(1)のr = 2 + a 、k= 1 を代入して　x2
y2
+
= 1 p　（３）略
2
2
0 2 + a1
0 2 + a1 - 1
神戸大 93 年
1辺の長さ２の正方形の対角線の交点をO とし、この正方形の周および内部を動く点P
が、次の条件を満たしながら動いている。
「線分OP の長さが、P から各辺におろしたどの垂線の長さよりも短い」
このとき、点P の動くことができる範囲の面積を求めよ。
垂線の足をＨとすると、
OP < PH
例えば第1象限のy)x の領域では、
U x 2 + y 2 < 1 - y　これより
y<
1-x 2
2
他の象限も同様。以下略。