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目 次
推薦のことば
まえがき
i
iii
コーシカとともに
vii
記 号
xiv
序 章
1
導入問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
コペルニクスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
第 1 章 点集合
7
1.1
直線族と運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2
作図問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3
追加問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
第 2 章 アルファベット
19
2.1
円と，円弧の対 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2
距離の 2 乗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3
直線からの距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.4
アルファベットの全体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
第 3 章 論理的組合せ
37
3.1
1 点を通る . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
共通部分と和集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.3
チーズの問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
第 4 章 最大と最小
37
51
4.1
どこに点を置くべきか？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.2
モーターボートの問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
第 5 章 レベル曲線
59
5.1
バスの問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
5.2
平面上の関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
5.3
レベル曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
xii
目 次
5.4
関数のグラフ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
5.5
関数の地図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
5.6
境界線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
5.7
関数の極値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
第 6 章 2 次曲線
71
6.1
楕円，双曲線，放物線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
6.2
焦点と接線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
6.3
放物線の焦点性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
6.4
82
6.5
直線族の包絡線としての曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
曲線の方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
6.6
平方根の消去 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
6.7
最後のアルファベット . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
代数曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.8
第 7 章 回転と軌跡
93
95
7.1
カージオイド . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
7.2
回転の合成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
7.3
2 つの円の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.4
速度と接線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.5
パラメータ方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
第 8 章 描画，アニメーション，魔法の三角形
117
8.1
直線の族の包絡線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.2
魔法の三角形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.3
円周上の小さな指輪 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.4
円周上の 2 人の歩行者とシュタイナーのデルトイド . . . . . . . . . . 122
8.5
3 点は 3 つの対称円をどのように動くか . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.6
ウォレス – シムソン線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.7
9 点円 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.8
ウォレス – シムソン線の回転とフォイエルバッハ円 . . . . . . . . . . 127
8.9
シュタイナーの三角形とモーレーの三角形 . . . . . . . . . . . . . . . 128
ヒントと答
131
付録 A 解析幾何（基本公式）
141
付録 B 学校幾何から
143
B.1 線分の比例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
目 次
xiii
B.2 距離と垂線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
B.3 円 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
B.4 三角形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
付録 C 12 通りの学習コース
153
C.1 「文字」の名前 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
C.2 変換と作図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
C.3 直線を回転する . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
C.4 直線と線形関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
C.5 接触の原理（条件付き極値） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
C.6 分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
C.7 楕円，双曲線，放物線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
C.8 包絡線，無限個の合併集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
C.9 サイクロイドの接線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
C.10 曲線の方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
C.11 幾何学実習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
C.12 ちょっとした研究 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
グーテンマッヘルについて
163
ヴァシーリエフについて
165
索 引
167