5）2つの円柱が交差した部分の体積

二円柱が交差する部分の体積
２つの直交している円柱 z 2 + x 2 ( a 2 …①
z 2 + y 2( a 2 …② がある。
(1) 円柱①，②の共通部分の xy 平面に平行な平面z = tによる切り口は
どのような図形か。また、切り口の面積を t の関数として表せ。
(2) 円柱①、②の共通部分の体積 Vを求めよ。
２円柱描画
共通部分描画
（１）z 2 + x 2 = a 2 ，z 2 + y 2 = a 2 へz = t を代入
t 2 + x 2 = a 2，t 2 + y 2 = a 2 tを消去して　x 2 = y 2 よってx = $y これより
2
2
2
2
x = $U a - t ，y = $U a - t （複号任意）
切り口は
2
2
2
2
2
2
2
2
0U a - t , U a - t 1，0-U a - t ,U a - t 1 ，
2
2
2
2
2
2
2
2
0-U a - t , -U a - t 1，0U a - t , -U a - t 1 を
４頂点とする正方形となる。一辺の長さは
2
2
2U a - t であるから，面積S 0 t 1 はS 0 t1 ＝40a 2 - t 21
（２）V=
Q
<
a
-a
Q
S 0t1 dt＝8
＝8 at-
a
0
2
2
0a - t 1dt
1 3 a 16 3
t ＝ a （答）
3
3
0
=
（鳥取大９２年、類：島根医科大９８年ほか多数）
共通部分のみ描画