(1/2)mv 2 になる理由

埼玉工業大学
テーマ C08：
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
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運動エネルギーが(1/2)mv になる理由－1/2
運動エネルギーが(1/2)mv2 になる理由
エネルギーを理解するには，まず，仕事の概念を理解する必要があります．1N（ニュー
トン）の力で物体を 1m 移動させるとき，1Nm（ニュートンメートル）の仕事をしたと定
義します．力×移動量の値を仕事量といいます．仕事は概念で，仕事量は値というわけで
す．この仕事量をエネルギーと定義しています．仕事量とエネルギーは同じものです．1Nm
は 1J（ジュール）に等しいと定義し，J を仕事量やエネルギー全般の単位として使用して
います．
F=1N
F=1N
m
m
1m 移動
物体を水平方向ではなく，鉛直方向に動かすときは，物体の重量と移動距離を掛けた値
が仕事となります．ただし，上向きに動かすときには外部から仕事をもらい，下向きのと
きには仕事を外部に発生することができます．
運動エネルギーE は，物体の速度を v [m/s] とすると
E
1 2
mv
2
(1)
2
kgm
m
で表わされます． mv の単位を計算すると， kg     2  m  Nm となることから，
s
s
2
1
エネルギーの単位と一致することが分かりますが，でもなぜ，mv 2 ではなくて，半分の mv 2
2
なのでしょうか？
この疑問は，次のようにして解くことで，解消することができます．運動する物体が dx
動く際の仕事量 dW は，物体に作用する力を F として
dW  Fdx
で，x の距離移動する間の仕事量はこれを積分したものとなります．
W   dW   Fdx
(2)
第 2 法則から
F  ma  m
dv
dt
(3)
なので，(3)式を(2)式に代入すると，
W   Fdx  m
dv
dx
1
dx  m dv  m vdv  mv2
dt
dt
2
(4)
が得られます．仕事量はエネルギーに等しく，しかも運動する際のエネルギーなのでこれ
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運動エネルギーが(1/2)mv になる理由－2/2
を運動エネルギーE と名付ければ，結局
E
1 2
mv
2
1
となり， mv 2 ではなくて mv 2 が正解と分かるのです．
2
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/KineticEnergy.pdf
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