テーマ B15： 行列と行列式の意味 線形代数と呼ばれる分野では，必ず

埼玉工業大学 機械工学学習支援セミナー（小西克享）
テーマ B15：
行列と行列式の意味－1/6
行列と行列式の意味
線形代数と呼ばれる分野では，必ず，行列と行列式が出てきます．これらがどのような
意味を持ち，またその違いは何なのかについて解説します．
１．連立方程式と行列
次の例題を考えてみましょう．
例題
リンゴ 2 個とミカン 3 個買うと代金は 350 円になり．リンゴ 5 個とミカン 6 個買
うと代金は 800 円になった．リンゴとみかんの 1 個の値段はそれぞれいくらか？
解答
リンゴとミカンの値段はそれぞれ x, y [円]とすると，次の式が成立する．
2 x  3 y  350

5 x  6 y  800
これを連立して解くと，
 x  100

 y  50
となる．よって，リンゴは 100 円，みかんは 50 円である．
この例題のように，連立方程式は
2 x  3 y  350

5 x  6 y  800
と表わすのが一般的ですが，これを次のように表わしてみます．
 2 3  x  350 
5 6   y   800 

  

 2 3
x
こうすると， 
は，連立方程式の係数部分だけを示し，   は未知の変数のみを表わ

5 6
 y
350 
し，
 は，連立方程式の定数項のみを表わすことが分かります．これらの例のように，
800 
記号[ ]を用い，文字や数字をその中に規則正しく並べることで，文字や数字を，意味を持
たせてグループ化することができます．このように，記号[ ]を用い，文字や数字を規則正
しく並べたものを行列といいます．また，行列の中の個々の文字や数字は，成分もしくは
要素と呼ばれます．
注意：行列は，連立方程式以外にも，ベクトルや写像を表わす際にも用いられます．
問題：次の連立方程式を，行列を用いて表わせ．
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行列と行列式の意味－2/6
 x  2 y  3 z  10

 4 x  5 y  6 z  11
7 x  8 y  9 z  12

答え
1 2 3  x  10 
 4 5 6   y   11

   
7 8 9   z  12 
２．行と列
行列の成分の並びは，横方向に行，縦方向に列と読んで区別されます．ただし，行と列
の数は同じである必要はありません．行が m で，列が n の行列は，m 行 n 列の行列と読ん
でいます．例えば，行列の i, j  成分を aij ，( i  1,, m ， j  1,, n )で表わすと，m 行 n 列の
行列は
 a11
a
 21


 am1
a12
a22
am 2
a1n 
 a2 n 




 amn 

と表わすことができます．
２．行列式の意味
行列は，文字や数字をグループとして表記したに過ぎません．したがって，行列自体が
値をもっているわけではありません．
a b   x   e 
 ax  by  e
もしくは， 

    
c d   y  f 
cx  dy  f
を解くと，
 ax  by  e

c b x  by  f b
 d
d
b
b

 a  c x  e  f
d
d

b
d  ed  bf
x
b ad  bc
ac
d
e f
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y
e  ax

b
ea
行列と行列式の意味－3/6
ed  bf
ad  bc  ade  bce  ade  abf  af  ec
b
bad  bc
ad  bc
a b 
となりますが，解 x, y の式で，分母の ad  bc は，行列 
 の要素のみを用いた式になっ
c d 
ています．そこで， ad  bc の計算式を
a b
 ad  bc
c d
と表記することにします．このように，記号｜｜を用い，その中に文字や数字を規則正し
く並べたものを行列式といいます．行列式では行列と異なり，行と列の数は常に等しくな
くてはいけません．具体的な行列式の計算方法は上述のように定められており，勝手に変
えることはできません．行列と行列式は意味が異なることに注意してください．
行列式の値は，行列の記号を用いて，
a b 
det 
  ad  bc
c d 
と表わすこともあります．ここで，文字を入れ替えると
a e
e b
 af  ec
 ed  bf ，
c f
f d
となるので，行列式の表記を用いると，連立方程式
a b   x   e 
 ax  by  e
もしくは， 

    
c d   y  f 
cx  dy  f
の解は
x
e
b
f
d
a
b
c
d
，y
a
e
c
f
a
b
c
d
と表わすことができます．
3 行 3 列の行列式は，Sarrus の方法で計算でき，
-
a
b
c
d
e
f  aei  bfg  cdh  ceg  bdi  afh
g
h
i
+
となります．
３．行列の計算
行列そのものは値を持ちませんが，行列に定数を掛けたり，行列どうしを足したり，引
いたり，掛けたりすることができます．連立方程式と比較してみてみましょう．
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行列と行列式の意味－4/6
(1) 行列と定数の掛け算
連立方程式
 ax  by  e

cx  dy  f
の両辺すべてに 2 を掛けると，
 2  ax  by   2  e
 2 ax  2by  2e
すなわち， 

2  cx  dy   2  f
2cx  2 dy  2 f
これを，行列で表わすと，
 2a 2b   x   2e 
 2c 2 d   y    2 f 

   
となりますが，最初の
a b   x   e 
c d   y   f 

   
の両辺に 2 を掛けて
a b   x 
e
2
 2 



c d   y
f
とした式と比較すれば，
 a b   2a 2b 
 e   2e 
2

， 2    


 c d   2c 2 d 
 f  2 f 
であることがわかります．このように，行列と定数の掛け算は，行列の要素すべてに定数
を掛ければよいことがわかります．
(2) 行列どうしの足し算
連立方程式
 ax  by  e  gx  hy  k
と

cx  dy  f
 ix  jy  l
を対応する式どうし，両辺を足し合わせると
a  g x  b  h  y  e  k

 c  i x  d  j  y  f  l
となるので，これを，行列で表わすと，
a  g b  h   x  e  k 
 c  i d  j y   f  l 

  

となりますが，行列の足し算として表わした
a
c

b  x g

d   y   i
a
 
 c
b  g

d   i
と比較すると，
h   x   e  k 


j   y   f   l 
h   x   e  k 



j    y   f   l 
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行列と行列式の意味－5/6
a b   g h  a  g b  h   e  k  e  k 
c d    i j    c  i d  j  ，  f    l    f  l 

 
 

     
となることがわかります．このように，行列どうしの足し算は，対応する行列の要素どう
しを足せばよいことになります．引き算も同様です．
(3) 行列どうしの掛け算
掛け算は少し複雑です．まず，
a b   x   e 
 ax  by  e
と， 

    
c d   y  f 
cx  dy  f
が等価であることを考えると，
 a b   x   ax  by 
 c d   y    cx  dy 

  

となることが分かりますが，連立方程式との比較からではこれ以上の計算方法を確認する
ことはできません．結論から述べると，1 つ目の行列における行の要素と 2 つ目の行列に
おける列の要素どうしを次のようにかけ合わせます．2 行 2 列以上の行列に対しても同じ
方法で，各要素を求めます．
a
c

b  g

d   i
h   ag  bi

j   cg  di
ah  bj 
ch  dj 
この関係を，行列式を用いて確認します．行列式で計算すると，
a
b
c
d

g
h
i
j
ag  bi
ah  bj
cg  di
ch  dj
 ad  bc    gj  hi   adgj  adhi  bcgj  bchi
 ag  bi   ch  dj   ah  bj   cg  di 
 agch  agdj  bich  bidj  ahcg  ahdi  bjcg  bjdi
 agdj  bich  ahdi  bjcg
 adgj  adhi  bcgj  bchi
a
b
c
d

g
h
i
j

と
a
b
c
d
ag  bi
ah  bj
cg  di
ch  dj

g
h
i
j

の行列式の値が等しくなるので，
ag  bi
ah  bj
cg  di
ch  dj
の関係が成立します．これを行列の計算に置き換えれば，
 a b   g h   ag  bi ah  bj 
 c d    i j    cg  di ch  dj 

 
 

と書けるわけです．
埼玉工業大学 機械工学学習支援セミナー（小西克享）
行列と行列式の意味－6/6
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/Matrix.pdf
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