日日の演習 d e a b 8²22 a，b，c は正の実数で，a + b = 1，a 3 + b3 +

日日の演習 d e a b
sSSH 課題探究 r
8² 22 a，b，c は正の実数で，a + b = 1，a3 + b3 + c3 = 1 を
満たすとき，次の問いに答えよ。
Ñ
c のとりうる値の範囲を求めよ。
Ò
a2 + b2 + c2 の最大値を求めよ。
R M.S. 君のレポートより
Ñ
1 3
c を代入して，
3
1 3
2 3
a2 + b2 = 1 ¡ 2 ¢
c =1¡
c
3
3
よって，
2 3
a2 + b2 + c2 = #1 ¡
c ; + c2
3
2
= ¡ c3 + c2 + 1
3
2
f(c) = ¡ c3 + c2 + 1 とおく。
3
これに，ab =
f0 (c) = ¡2c2 + 2c = ¡2c(c ¡ 1)
a + b = 1 の両辺を 2 乗して，
f0 (c) = 0 とおくと，
Ñ a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = 1
c = 0，1
E
3 < 1 だから，
また， 3
4
Ñ a3 + b3 = 1 ¡ 3ab(a + b)
f(c) の増減表は次の通り。
(a + b)3 = 1
1
Ñ a + b = 1 ¡ 3ab Ý ⃝
3
3
1 より，
また，a3 + b3 + c3 = 1 と ⃝
c
f0 (c)
1 ¡ 3ab + c3 = 1
1 3
c
Ú ab =
3
a+b=1>0
1 3
Ú Z ab = 3 c > 0
1 3
c ¸0
D=1¡4¢
3
3 は成立。⃝
4 より，
⃝
c3 > 0 Ñ c > 0
5 より，
⃝
3
c3 ·
4
y
y = c3
3
Ý⃝
4
Ý⃝
5
Ý⃝
3
3
4
c
3
4
%
1 3
c = 0 の 2 つの正の実数解であるこ
3
とから，解の配置の問題として取り組む。y = c3 のグラフから，
E
c の範囲が 0 < c · 3 3
4 を導くなど，丁寧に説明している。
q a，b が，t2 ¡ t +
R M.T. 君のレポートより
U
a+b=1
1
Ý⃝
2
a3 + b3 + c3 = 1 Ý ⃝
とおく。
1 より，
⃝
a3 + b3 = (a + b)3 ¡ 3ab(a + b)
以上より，
E
Ò
3
よって，a2 + b2 + c2 の最大値は，
F
9
1
%1 + 3
=
2
2
Ñ
3
4
a + b = 1 から，
0 < c ·
E
よって，f(c) の最大値は，
E
3 のときにとり，
c= 3
4
F
2
E
2
3
3
3
%3
= +1
<
f$ 3
4 =¡ 3 ¢ 4 +
4
F
1
9
%1 + 3
=
=
2
2
3
4
E
Ý
+
f(c)
a+b=1
V
1 3
ab =
c
3
だから，a，b は 2 次方程式
1 3
2
t2 ¡ t +
c = 0Ý⃝
3
の 2 つの正の解である。
O
0
3
(a + b)2 = 1
Ñ a2 + 2ab + b2 = 1
Ñ a2 + b2 = 1 ¡ 2ab
3
= 1 ¡ 3ab Ý ⃝
a，b は正の実数なので，相加平均・相乗平均に関する
1 から，
不等式と ⃝
C
a+b
¸ ab
2
1
Ñ ¸ ab
4
日日の演習 d e a b
これに，条件 a > 0，b > 0 を加味して，
1
0 < ab ·
4
3 から，
が成り立つ。これと，⃝
1
1
· 1 ¡ 3ab < 1 Ñ · a3 + b3 < 1
4
4
2 より，
であるから，⃝
1
3
· 1 ¡ c3 < 1 Ñ ¡
· ¡c3 < 0
4
4
3
Ñ 0 < c3 ·
4
E
3
Ñ 0<c· 3
4
Ò
a2 + b2 のとり得る値の範囲は，
a2 + b2 = (a + b)2 ¡ 2ab
1
1
;
= 1 ¡ 2ab ¸
#Û ab ·
2
4
これより，
1
4
0 < a2 + b2 ·
Ý⃝
2
また，c2 のとりうる値の範囲は，(1) の結果より，
2
3 3
5
0 < c · # ; Ý⃝
4
4 ，⃝
5 より，
⃝
2
2
f(a) = ¡3(a2 ¡ a)
= ¡3 T#a ¡
1
1 2
l
; ¡
2
4
1 2
3
; +
2
4
3
Ú 0 < f(a) ·
4
3
Ñ 0 < c3 ·
4
E
Ñ 0 < c · 3 3
4
Ò a + b = 1 より，
= ¡3 #a ¡
a2 + b2 = (a + b)2 ¡ 2ab
= 1 ¡ 2ab
= 1 ¡ 2a(1 ¡ a)
= 2a2 ¡ 2a + 1
これを，a2 + b2 + c2 に代入して，
a2 + b2 + c2 = 2(a2 ¡ a) + 1 + c2
2 より，
また，⃝
1
a2 ¡ a = ¡ c3
3
だから，
2 3
c + 1 + c2
3
1
3 3
6
+ # ; Ý⃝
2
4
E
1
3 のときに成
6 の符号は，a = b =
⃝
かつ c = 3
2
4
1 ，⃝
2 および，a，b，c が正の実数であ
り立ち，これは，⃝
a2 + b2 + c2 = ¡
6 の等号は成立する。
ることを満たす。よって，⃝
g0 (c) = 0 とすると，
0 < a2 + b2 + c2 ·
以上より，a2 + b2 + c2 の最大値は，
1
3
+# ;
2
4
2
3
2 3
c + c2 + 1 とおく。
3
g0 (c) = ¡2c2 + 2c
ここで，g(c) = ¡
c = 0， 1
(1) の範囲で g(c) のグラフは，
g(c)
q a > 0，b > 0，a + b = 1 (一定) であることから，相加相
1
6 での等号成立の
乗の不等式を用いて，0 < ab ·
を得る。⃝
4
説明が本質的であることを理解している。
R T.S. 君のレポートより
O
Ñ
E
3
3
4
c
a + b = 1 より，
a3 + b3 = (a + b)3 ¡ 3ab(a + b)
= 1 ¡ 3ab
= 1 ¡ 3a(1 ¡ a)
1
= 3a2 ¡ 3a + 1 Ý ⃝
1 を，a3 + b3 + c3 = 1 に代入して，
⃝
c3 = 1 ¡ (3a2 ¡ 3a + 1)
2
= ¡3a + 3a Ý ⃝
2
E
3 ，
4
a + b + c = 1，a > 0，b > 0 をすべて満たす (a; b; c) に
グラフより，g(c) = a2 +b2 +c2 の最大値は，c =
3
対してとる。よって，求める最大値は，
F
E
1 3 9
1
3
<=
+
¢
g $ 3
2
2
2
4
q c3 を文字 a だけで表し，c3 = f(a) = ¡3a2 + 3a のとり
得る値の範囲を，0 < a < 1 で求めている。後半も一貫して，文
ここで，f(a) = ¡3a2 + 3a とおく。
字 c で表して a2 + b2 + c2 のとり得る値の範囲を求めた。細かい
a は正の実数，かつ a + b = 1 なので，
ところに工夫がある。
0 < a < 1
このとき，