ab+1≦abc≦ab+bc+ca+1(c＜b＜a、a,b,cは自然数)

整数問題は甘くて切ないことで有名ですが、今回は整数問題を取り扱いたいと
思います。
質問された問題なので出題は不明です。
[問題]
a, b, c は c < b < a を満たす自然数とする。
ab + 1 ≤ abc ≤ ab + bc + ca + 1
が成り立つ時 a, b, c を求めよ。
[解答・解説]
この問題は整数問題でよく使うパターンを上手く使えば意外に結構簡単に解けま
す。
まずは
ab + 1 ≤ abc
について考えてみましょう。
ab + 1 ≤ abc
1
⇔
ab < abc
⇔
1<c
⇔
2≤c
これは整数ならではの変形です。
整数でよく使うのが
m、n を自然数とすると
n+1≤m⇔n<m
です。
具体的に言うとエンピツが 3 本以上ってことは 2 本より多くて、
エンピツが 2 本より多いってことは 3 本以上ってことです。
当たり前のようですが、これを上手く使うと
ab + 1 ≤ abc が ab ≤ abc になって余計な 1 が消えて ab で両辺割れます。
こうやって不等式が不明な文字で割れるように持っていくと
1<c
が出ます。
1 より大きいってことは 2 以上つまり 2 ≤ c です。
もっかい言おか？
m、n を自然数とすると
n+1≤m⇔n<m
をよく使います。
今の場合必要十分な変形でしたが、整数特有の変形をして必要条件な範囲を出し
ていって答えの候補を絞っていくのがコツです。
次は右側の不等式 abc ≤ ab + bc + ca + 1 を変形してみます。
2
ab と bc と ca では ab が一番大きいです。
と言うことは右側は 3ab で抑えられるかもしれません。
そうなれば abc < 3ab になって ab で割れます。
まず
ca + 1 < ab
です。
これは c < b < a だから当たり前かもしれませんがちゃんと計算するには
ca + 1 よりは ca + a の方が大きくて
ca + a = (c + 1)a
また b は c + 1 以上なので
ca + 1 < ab
とやればやれます。
ちょっと複雑なことやってますが ca + 1 < ab のはずとわかるところが大切です。
また bc < ab は当たり前です。
と言うことは、
ab + bc + ca + 1 < 3ab
3
になるから
abc < 3ab
で ab で割れて
c<3
となって 2 ≤ c < 3 だから c = 3 と決まります。
こうやって一番大きな文字の項 ab で抑えていくと ab で割っていくのがコツです。
整数特有の変形で必要条件から出た範囲で答えを絞るどころか、答えが出ました。
c = 2 を代入しましょう。
左の不等式に代入しても何も出ないので、右の不等式を考えます。
すると
ab ≤ 2b + 2a + 1
になります。
またここで同じように一番大きな文字の項 2a で抑えていって a で割ったら何か範
囲が出ると思われます。
だから
2b + 1 < 2a
4
にならないか考えます。
これは b < a だから当たり前ですが一応さっきのように
2b + 1 < 2b + 2 = 2(b + 1) ≤ 2a
とやれば計算で出来ます。
よって
ab < 2a + 2a = 4a
になって a で割れて
b < 4 つまり b ≤ 3 とわかります。
c < b つまり b は 2 より大きいので、b = 3 と決まります。
さて、
m、n を自然数とすると
n+1≤m⇔n<m
をよく使うことを頭の片隅に入れてください。
c = 2、b = 3 と決まりました。
もう後は簡単です。
5
代入すると
3a + 1 ≤ 6a ≤ 5a + 7
でこれを解いて a ≤ 7 だから 3 = b < a とあわせて
a = 4, 5, 6, 7
とわかりました。
この問題は答えが決まりましたが、だいたい範囲を出すと整数だから候補は絞ら
れて後は実際に代入して調べてみるって感じになります。
実は m、n を自然数とすると
n+1≤m⇔n<m
をよく使います。
もうええわ！
他の解き方には 2 ≤ c < b < a のところから
2≤c<b<a⇔0≤c−2≤b−3≤a−4
1
1
1
9
+
+
≥
a+b−c b+c−a c+a−b
a+b+c
を示せ。(a, b, c の三角形の辺の長さ) みたいに x = a − 4、y = b − 3、z = c − 2 と
置くと 0 ≤ z ≤ y ≤ x と条件が簡単になって abc ≤ ab + bc + ca + 1 に代入して xyz
で表すとそこそこ解けます。
と全部 ≤ の形にしてこの前の問題
こっちの方がどっちかと言うと機械的に解けるから、解けない時はこれもためし
てみましょう。
もうひとつの解き方はまた 2 ≤ c < b < a のところから
f (c) = ab + bc + ca + 1 − abc = (b + a − ab)c + ab + 1 (2 ≤ c < b)
と c の一次関数と考えて b + a − ab = −(a − 1)(b − 1) + 1 < 0 だから減少関数だか
ら f (c) ≥ 0(←示すべき不等式) であるには f (2) ≥ 0 であることが必要で
f (2) = 2b + 2a − ab + 1
また f (2) を
g(b) = 2b + 2a − ab + 1 = (2 − a)b + 2a + 1 (3 ≤ b < a)
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と b の関数と考えてこれは 2 − a < 0 だから減少関数だから f (2) ≤ 0 であるには
g(3) ≤ 0 が必要であるとわかります。
g(3) = −a + 7 より a ≤ 7
で a の考えられる候補は 4 ≤ a ≤ 7 より a = 4, 5, 6, 7 とわかります。
まあこういう感じで、しんどいですが機械的にいつかは解けます。
孤独との戦いです。
これは解析的な解き方ですね。
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