平方根の近似値を筆算で求める 中卒レベルの数学からのスタート 1.41

４－②(第４部会)
平方根の近似値を筆算で求める
―課題研究の例としてー
春日部高等学校 石渡勇人
ＳＳＨの課題研究基礎(1 単位科目)において，1 年生 21 名は，平方根の近似値を求める 4 通りの
方法を学んだ後，それぞれが課題を設定し筆算で近似値を求める活動をおこなった．その結果，
近似値を求める方法のよさがわかり，近似値の有効数字への関心も高まった．解法を学び，入試
問題が解けるようになるための数学とは異質の数学に出会い，数学に対する見方を広げることが
できたと思われる．
中卒レベルの数学からのスタート
このように，1 辺
の長さが 1 10 ずつ
高校１年生の４月の段階で知っている
2
に関する知識は貧弱である． 1.41 = 1.9881 ，
1.422 = 2.0164 であるから， 2 ≒ 1.41L と
小さくなる正方形
説明できる程度である．
面積が 2 に近づく
2
を L 字型に並べて，
筆算による速算法と近似値を求める４つの
ように正方形を構
方法を紹介した．４つの方法はいずれも速くて
成していく．
確実で正確な方法であるので，
「は・か・せの
近似値はつねに
方法」と呼ぶことにした．生徒自身が筆算をお
2 より小さく，小数第 n 位
n
までの近似値の誤差は 1 10 より小さい．
こない，これらの方法がたしかに「は・か・せ
開平法の実際の計算のはじめの部分を示す．
の方法」であると実感することを目指した，
近似値を求める「は・か・せの方法」
1
（１）開平法
1
開平法は， a に ( a + a + b ) × b すなわち
2 4
2
2
2ab + b 2 を加えると ( a + b ) となることを用
4
2 8 1
いる．
1
2 を開平法で求める．
(1)
1.
4
1
4
2 0 0 0 0 0 0
2 8 2 4
1 辺の長さ１の正方形 A 1 を 1 個置く．
4
(2) 正方形 A 1 の隣り合う 2 辺の周りに 1 辺
の長さが 1 10 の正方形 A 2 を L 字型に
(10 + 10 + 4 ) × 4 = 96 個並べて， A 1 より
大きい面積の正方形 A′ を作る．
(3) 正方形 A′ の隣り合う 2 辺の周りに 1 辺
の長さが 1 100 の正方形 A 3 を L 字型に
( 280 + 1) ×1 個並べて．A′ より大きい面積
の正方形 A′′ を作る．
1
1 0 0
9 6
4
2
1
1
0
8
1
1
0
1
9 0 0
2 9 6
■開平法は生徒の誰も知らなかった．説明は 1
4－②－1
回だけにとどめ，説明を理解できた生徒が他
の生徒に教えることで．ほどなく，開平法は
全員ができるようになった．
1.4142135623 7309504880 1688724209
6980L
（生徒 F は小数第 34 位まで求めた．）
（２）ニュートン法
■直線が放物線に接するための条件は判別式
直線 y = mx + b ・・・①が
(
で表せる．しかも，ニュートン法は図があれ
)
放物線 y = x − 2 ・・・②と点 a, a − 2 で
2
接するための条件は
(
2
用して近似値を求める方法があることに驚
)
(1) 直線①が点 a, a − 2 を通る．
2
ば，生徒も納得しやすい．生徒は，接線を利
いていた．
(2) ①と②から y を消去して得られる x の
■漸化式は初出である．このため，説明はゆっ
2 次方程式 x − mx − ( b + 2 ) = 0 が重解
をもつ．
くりと丁寧にしたが，⑤を理解することはや
2
が同時に成り立つことである．
法を実際に自分で用いてやっと漸化式⑤の
(1)，(2)より， m = 2a ， b = − a − 2
2
(
意味がわかるようになった．
)
ゆえに，点 a, a − 2 で放物線②に接する直
2
はり生徒には難しい．③から④を繰り返す方
線の式は y = 2ax − ( a 2 + 2 ) ・・・③である．
直線③と直線 y = 0 ( x 軸)の交点の x 座標は
■漸化式⑤を利用して， a 5 を求める計算の場
合， a4 の分母・分子がともに 6 桁の数であ
るから，6 桁の数どうしの乗法を 3 回行う．
a 2 + 2 ( 665857 470832 ) + 2
a5 = 4
=
2 a4
2 × ( 665857 470832 )
2
a2 + 2
・・・④である．
x=
2a
以上のことから，次の漸化式を得る．
a n+1 =
an + 2
2an
665857 2 + 2 × 4708322
=
2 × 665857 × 470832
2
・・・⑤
a5 の分母・分子は 12 桁の数になる．ほとん
ど生徒が a 4 まで求めて，計算を諦めている．
■ a n を小数展開したときの有効数字は a n+1
を小数展開して初めてわかる． a 4 を小数展
3
a1 = = 1.5 とすると，漸化式⑤により，
2
次のような 2 の近似値を得る．
17
a2 =
= 1.416L
12
開したときの有効数字を求めるために，生徒
（有効数字は小数第 2 位まで）
は開平法の結果を参照した．(生徒 F は a 6 を
577
a3 =
= 1.41421 5L
408
小数第 34 位まで求めた．)
（有効数字は小数第 5 位まで）
（３）ヘロンの方法
665857
a4 =
= 1.41421 35623 74L
470832
２つの正の数 a, b について，算術平均，幾何
平均，調和平均をそれぞれ
（有効数字は小数第 11 位まで）
a+b
， G ( a, b ) = ab ，
2
1
2ab
H ( a, b ) =
=
とすると，
1⎛ 1 1⎞ a+b
⎜ + ⎟
2⎝a b⎠
H ( a, b ) < G ( a, b ) < A ( a, b ) が成り立つ．
A ( a, b ) =
886731088897
a5 =
627013566048
= 1.41421 35623 73095 04880
1689L
（有効数字は小数第 23 位まで）
1572584048032918633353217
1111984844349868137938112
=1.41421 35623 73095 04880
a6 =
16887 24209 69807 85696
71875 377
（有効数字は小数第 47 位までカルキングによる）
ab = 2 となるように a, b を定めると，
2ab
2
=
G ( a , b ) = 2 ， H ( a, b ) =
a + b A ( a, b )
2
a > 2 とすると， b = < 2
a
4－②－2
a + b 2a
<
=a
2
2
2
2
よって， H ( a, b ) =
> =b
A ( a, b ) a
よって， A ( a, b ) =
a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ,L , a n
= a0 +
1
a1 +
ゆえに， b < H ( a, b ) < 2 < A ( a, b ) < a
これを利用して，次の結果を得る．
n
( a, b )
1
( 2,1)
⎛3 4⎞
2 ⎜ , ⎟
⎝2 3⎠
⎛ 17 24 ⎞
3 ⎜ , ⎟
⎝ 12 17 ⎠
4
(
577 816
,
408 577
)
1
a2 +
1
a3 +
a n−1 +
An
Hn
3
2
17
12
577
408
4
= 1,33L
3
24
= 1.4117L
17
816
= 1.414211L
577
665857
941664
470832
665857
c n = a 0 , a 1, a 2 ,L , a n とし， c n の分子を
p n ，分母を q n とすると．次の式が成り立つ．
= 1.4142 35623 71L
a1 = 1.5 としてニュートン法で求めた値 a n
⎧⎪ p n = a n p n −1 + p n−2
⎨
⎪⎩ q n = a n q n −1 + qn−2
ただし， c 0 = a0 1 p −1 = 1 ， q −1 = 0
p0 = a0 ， q0 =1
2 のとき， x = 1, 2, 2,L = 1, 2
a0
3
7
41
= 1 ，c1 = ，c 2 = ，c 3 =
，
1
2
5
29
99
239
， c5 =
c4 =
70
169
c0 =
徒は皆無であった．筆算をおこなって，初め
てそのことに気がついた．
しかし，その理由を説明できた生徒はいな
を求める筆算だけでも大変という体験をし
x=
例
に等しい．このことに初めから気がついた生
かった．n = 1, 2, 3, 4 のときの A n や H n の値
1
an
次に， n = 1, 2, 3,L について，
■ A1 = 1.5 としたので， A n ( n = 1, 2, 3,L )は，
小数になおすと，次の関係が推測できる．
c2 < c4 < c6 <L <
2 < L < c 5 < c 3 < c1
■連分数はその表記や実際の計算の手順など，
た様子である．
■算術平均，幾何平均，調和平均の大小関係を
利用する場面に接することができ，生徒の学
生徒にとって驚きの連続であった． 2 から
24 までの連分数展開を得るのも大変という
生徒が多かった．
習意欲が高まった．
2=
3=
5=
6=
7=
8=
（４）連分数による近似
実数 x に対して， x を越えない最大の整数
を [ x ] で表す．
実数 x ≠ 0 に対して， x 0 = x ， a 0 = ⎡⎣ x 0 ⎤⎦
とする． i = 1, 2,3,L について，
1
= x i −1 − a i −1
xi
1
L
a i = ⎡⎣ x i ⎤⎦
1, 2
1,1, 2
2, 4
2, 2, 4
2,1,1,1, 4
2,1, 4
10 =
11 =
12 =
13 =
14 =
15 =
3, 6
3,3, 6
3, 2, 6
3,1,1,1,1, 6
3,1, 2,1, 6
3,1, 6
■ニュートン法で近似値を求めた体験から，生
〔実数 x i −1 に対して，その整数部分を a i −1 ，
〕
小数部分の逆数を x i とする．
さらに，連分数展開を次のように定義する．
徒は漸化式を使えるようになった．
■平方根の連分数表示に見られる規則性を見
つける活動では全員が「このときは数学が面
白いと思った」と感想を述べている．
{ }
■数列 c n において奇数番目の項の列は単調
4－②－3
減少し，偶数番目の項の列は単調増加するこ
■生徒に４つの方法を実際に用いて近似値を
とで 2 の近似値を求めていくことができ
求める課題を自分で考え，課題レポートとす
ることに生徒は新鮮な感動があった．
るように指示した．筆算で具体的に近似値を
求める活動も貴重な体験であると指導し，そ
４つの方法の特徴
の活動を通して得た実感を大切にするよう
開平法：カメのように進みは遅い．筆算は見た
目ほど大変ではなく，着実に近似値が求まる．
に促した．通常，課題研究ではテーマの設定
に苦労するが，今回は時間がかからなかった．
ニュートン法：うさぎのように進みは速い．し
筆算に挑戦した多くの生徒の感想
かし，有効数字を求めるためにはもう１回計
・筆算は意外と面白いことがわかった．
算が必要であり，その計算は，桁数が 2 倍に
増える数どうしの乗法を 3 回する必要があ
・近似していく様子が確かめられた．
近似する方法を発展させた生徒もいた．
り，計算量がすぐに膨大になる．
・ニュートン法によって立方根を求める．
ヘロンの方法：
（算術平均）＞（調和平均）を
・ブリックスの方法で log10 2 を求める．
利用することで，近似値を求めるたびに有効
・近似値と誤差の範囲の関係を調べる．
・（Excel を利用） x が小さい数ならば，
数字を確実に決定できる．
連分数近似の方法：連分数近似を求められるよ
2
x
4
4
2
4
2 + x の近似式は 4 2 +
x
8
2 + x の近似式は 2 +
うにするまでの準備に時間がかかる．漸化式
の扱いにも慣れる必要がある．
生徒は，平方根の近似値を筆算で実際に求め
近似値を筆算で求める活動を指導してわ
かったこと
てみる体験によって初めて，それらが「は・か・
■12 桁の数の 2 乗を求めるとなると，筆算で
せの方法」であることが実感できた．また，
「役
はなく電卓を使いたくなるが，巷の電卓では
に立つ式とはどういう式のことか」や「値を求
そのままの計算はできない．8 桁の電卓を利
める方法がわかっても，実際に答えを得ようと
用する場合，４けたずつ３つの数にまとめ，
すると計算が膨大になることがある．」などを
分割して計算し，それらを後で，位取りに注
学んだ．筆算で平方根の近似値を求める活動を
意しながら足し合わせる．
通して，数学という学問の一端に触れることが
できたと考えられる．
この工夫を見つけた生徒も現れた．
■一般に，桁数が大きくなると，数字を正しい
位置に書き並べること自体が難しくなる．
今後の課題
2 の近似値を 1..41421356 と覚えていて
5 ミリの方眼紙を利用すれば，この問題を
も，小数第 9 位の値を求められる高校生はきわ
解決できることがわかった．
■4 つの方法のうち，開平法が最もわかりやす
く，その次に，ニュートン法，ヘロンの方法
めて少ない．
高校数学では平方根，立方根， sin1° ，
と続く．連分数近似は連分数そのものを理解
log10 2 ， π ， e など，さまざまな無理数が登
することに時間がかかり，どの生徒も一番難
場するが，多くの高校生がその近似値を求める
しいという感想である．
方法を学び，実際にその方法が「は・か・せの
しかし，連分数は互除法やペル方程式など
とも関連し，高校数学の内容として扱える．
方法」であると実感できるような指導法の開発
が求められている．
4－②－4