第8回（6/7出題）

6月15日修正版
レポート課題第 8 回【6/14 10:20a.m. 締切】 ⃝
1 問 2.16．次の各叙述の真偽を判定せよ．1 変数の命題関数
K, T, R, N をそれぞれ次のように定義する．K(x) を「x はカンガルーである」，T (x) を「x はトラである」，
R(x) を「x はオーストラリアにいる」，N (x) を「x は肉食である」．このとき，K, T, R, N を用いて，以下の
文を述語論理式で与えよ．
(1)
(2)
(3)
(4)
カンガルーはオーストラリアにしかいない．
オーストラリアには肉食（動物）がいる．
オーストラリアには，カンガルーまたはトラがいる．
肉食のカンガルーもいる．
⃝
2 問 2.22. 2 変数命題関数 P (x, y) を「x と y は友人である」とし，X をこのクラスの男子学生全体の集合，
Y がこのクラスの女子学生全体の集合とする．このとき，次の述語論理式の意味するところを答えよ．
(1) ∀x ∈ X ∀y ∈ Y P (x, y).
(2) ∃x ∈ X ∃y ∈ Y P (x, y).
(3) ∀x ∈ X ∃y ∈ Y P (x, y).
(4) ∃y ∈ Y ∀x ∈ X P (x, y).
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3 問 2.23. 2 変数命題関数 P (x, y) を「x > y 」とし，R を実数全体の集合とする．このとき，次の述語論理
式の意味するところを答えよ．
(1) ∀x ∈ R ∀y ∈ R P (x, y).
(2) ∃x ∈ R ∃y ∈ R P (x, y).
(3) ∀x ∈ R ∃y ∈ R P (x, y).
(4) ∃y ∈ R ∀x ∈ R P (x, y).
解答. ⃝
1
(1)
(2)
(3)
(4)
∀x
∃x
∃x
∃x
[K(x) → R(x)].
[R(x) ∧ N (x)].
[R(x) ∧ (K(x) ∨ T (x))].（6/15 修正しました）
[N (x) ∧ K(x)].
⃝
2
(1) クラスの男子学生は全員，クラスの女子学生全員と友人である．
(2) クラスのある男子学生と，クラスのある女子学生は友人である．
(3) クラスの男子学生は全員，それぞれ友人であるような女子学生がクラスにいる（相手は異なっていても
よい）．
(4) すべての男子学生共通に，友人であるような女子学生がいる．
【解説】上記問の意味を理解する助けとして，二つの集合 X, Y の各要素の対応関係を明示した図を以下に
記しておく．
X
X
Y
8x2X 8y2Y P(x;y).
Y
9x2X 9y2Y P(x;y).
12
X
Y
X
8x2X 9y2Y P(x;y).
Y
9y2Y 8x2X P(x;y).
⃝
3
(1) 全ての実数 x, y に対して，x > y が成り立つ．
(2) x > y をみたすような実数 x と y が存在する．
(3) すべての実数 x に対して，x > y をみたすような実数 y が存在する（ここでの y はは x に依存して異
なっていてもよい）
(4) ある実数 y が存在して，すべての実数 x に対して x > y をみたす（ここでの y は x とは無関係に存在
する）．
【補足】同じ種類の限定記号の順序交換はできる（定理 2.5）が，異なる種類の限定記号は順序を変えると意
味が異なる．つまり，(3) と (4) は同じ意味ではないことに注意しよう．(3) は真の命題であるが，(4) は偽で
ある．
(3) が真であることの証明：実数 x を任意に選ぶ．この x に対して，y = x − 1 とおくと，y は実数で
ありしかも x > y となる．すなわち，∃y ∈ R [x > y] は真である．x は任意に選ぶことができるので，
∀x ∈ R ∃y ∈ R [x > y] は真である．
(4) が偽であることの証明：否定命題 ¬(∃y ∈ R ∀x ∈ R P (x, y)) が真であることを証明すればよい．実数 y
を任意に選ぶ．この y に対して，x = y とすると，x ≤ y をみたす．つまり，∃x ∈ R [x ≦ y] は真である．x
は任意に選ぶことができるので，¬(∃y ∈ R ∀x ∈ R P (x, y)) は真である．ゆえに，∃y ∈ R ∀x ∈ R P (x, y) は
偽である．
13