11.1 一意分解整域 (Unique Factorization Domain)

11.1 一意分解整域 (Unique Factorization Domain)
1
11.1 一意分解整域 (Unique Factorization Domain)
定理 11.1 R を整域とし，p を R の元とする．p が素元であれば，p は既約元である．
問 11.1 有理整数環 Z と有理数体 Q の素元は何か．
問 11.2 K を体とする．多項式環 K[x] の素元は何か．
定義 11.1 整域 R が一意分解整域であるとは，R は次の２つの条件を満たすときにいう．
(1) R の元 a ̸= 0 は，次のように可逆元と素元の積で書き表される．
a = εp1 p2 · · · pr (ε可逆元, pi 素元)
(2) a = εp1 p2 · · · pr = ε′ q1 q2 · · · qs と書き表されれば r = s であり，素元の順番を取り替えると，イデア
ルとして次の等号が成り立つ．
(p1 ) = (q1 ), (p2 ) = (q2 ), . . . , (pr ) = (qr )
√
問 11.3 Z[ −5] は一意分解整域ではないことを示せ．
√
√
(1) x = a + b −5 ∈ Z[ −5] に対して,
N (x) = a2 + 5b2
√
と定義する．このとき，x, y ∈ Z[ −5] に対して
N (xy) = N (x)N (y)
が成り立つことを示せ．
(2) 1 +
√
√
−5 は環 Z[ −5] において，既約元であることを示せ．
2
(3) 1 +
√
√
−5 は環 Z[ −5] において，素元ではないことを示せ．
定義 11.2 R を一意分解整域とする．R 係数多項式
f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn (ai ∈ R)
に対して，a0 , a1 , . . . , an の最大公約元が 1 であるとき，f (x) を原始多項式という．
ガウスの補題
補助定理 11.1 f (x), g(x) ∈ R[x] とする．f (x) と g(x) がともに原始多項式ならば，f (x)g(x) も原始多
項式である．
モニック
定義 11.3 整数係数多項式で，その最大次数の係数が１のとき，モニック多項式という．
Eisenstein の既約判定法
定理 11.2 R を一意分解整域，K をその商体とする．このとき，R[x] の元
f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn
に対し
p ̸ |an , p|an−1 , . . . , p|a1 , p|a0 , p2 ̸ |a0
を満たす R の素元 p が存在するならば，f (x) は K[x] における既約多項式である．
Q[x] で可約なら Z[x] で可約
f (x) が Q[x] で多項式の積に分解すれば，Z[x] においても同じ次数の多項式に分解する．
問 11.4 次の多項式が Q[x] で既約か調べよ．
(1) x3 − 6x + 3
(2) x3 − 6x + 2
(3) x4 − 3x3 + 6x2 − 3x + 3
(4) x4 + 1
(5) x3 + x − 1
(6) x4 − 2x2 + 8x + 1