平成12年度2次募集入試問題 専門

静岡大学大学院理工学研究科
博士前期課程・ 数学専攻
平成１２年度（第２次）入学試験問題
専 門 （数 学）
注意事項：
1 2 3 はすべて解答せよ。
4 5 6 7 8 9 から２問を選び解答せよ。３問以上解答してはいけない。
なお解答用紙は問題ごとに別にし、各用紙に問題番号を明記せよ。
1
関数 f : R → R を
f (x) =
(
x2 sin( x1 ) (x 6= 0)
0
(x = 0)
とする.
(1) f (x) の 微分可能性を 調べよ．
(2) f 0 (x) の 連続性を調べよ．
(3) a を正数とするとき、区間 [0, a] で f 0 (x) はリーマン積分可能
か．また、無限区間［0, ∞) ではどうか．
2
３次元実列ベクトル空間 R3 の線形変換 f : R3 −→ R3 はベクト
ル t (1, 1, 1), t (1, 1, 0), t (1, 0, 0) をそれぞれベクトル t (2, 1, −3), t (2, 1, −2),
t
(2, −1, 1) に移す. ベクトル v1 , · · · , vm で生成された部分空間を
L(v1 , · · · , vm ) で表す. このとき，次の問いに答えよ．
(1) 標準基底に関する f の表現行列を求めよ．
(2) R3 の部分空間 W は f (W ) ⊆ W であるとき，f -不変な部分空
間と云われる．R3 の f -不変な１次元部分空間は L(t (0, 1, −1))
と L(t (0, 0, 1)) の２つだけであることを示せ．
(3) １次元部分空間 L(t (0, 1, −1)) を含む２次元部分空間で f -不変
なものをすべて求めよ．
3
(1) (X1 , d1 ) および (X2 , d2 ) を距離空間とする. 直積集合 X1 ×X2
の２元 x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) に対して,
1
d(x, y) = ((d1 (x1 , y1 ))2 + (d2 (x2 , y2 ))2 ) 2 と定義する. このと
き, 次のことを証明せよ.
(i) d は X1 × X2 上の距離関数になる.
(ii) di から定まる Xi 上の距離位相を Oi とすれば (i = 1, 2),
X1 × X2 上の積位相 O1 × O2 は d から定まる X1 × X2 上
の距離位相と一致する.
(2) (X, O1 ), (Y, O2 ) および (Z, O3 ) を位相空間とする.
f : (X, O1 ) → (Y, O2 ), g : (X, O1 ) → (Z, O3 ) を連続写像とす
る. h : X → Y × Z を h(x) = (f (x), g(x))(x ∈ X) と定義す
る. このとき, h は (X, O1 ) から積空間 (Y, O2 ) × (Z, O3 ) への
連続写像となることを証明せよ.
以下は選択問題である．２題についてのみ解答せよ．
4
つぎの問いに答えよ.
(1) ある複素数 α について, 1, α, α2 は線形独立であり, 1, α, α2 , α3
は線形従属であるとする. このとき, 1, α2 , α4 は線形独立であ
り, 1, α2 , α4 , α6 は線形従属であることを示せ. ただし, 線形
性はすべて有理数体上で考えるものとする.
(2) 複素数 α が代数的数のとき, その絶対値 |α| もまた代数的数で
あることを示せ. ただし, 有理数係数の 1 次以上のある代数方
程式の解となる数を代数的数という.
5
複素数値関数 f (z) が, D = {z ∈ C | |z| ≤ R} （R は正定数）で
正則とする. このとき, 次が成り立つことを示せ:
(1) 任意の正数 r ∈ (0, R] にたいして,
Z 2π
1
0
(i)
f (0) =
f 0 (reiθ )dθ,
2π 0
Z 2π
1
0
2
(ii)
|f (0)| ≤
|f 0 (reiθ )|2 dθ.
2π 0
(2) D の境界 ∂D の像曲線 f (∂D) の長さを L とするとき,
L ≥ 2πR|f 0 (0)|.
(3) D の像 f (D) の面積を A とするとき,
A ≥ πR2 |f 0 (0)|2 .
6
1 次元ユークリッド空間 R のボレル σ-algebra B(R) 上で定義さ
れた測度 µ が, 次の条件 (∗) を満たすとする.
(∗) µ((0, 1]) = 1,
µ(E) = µ(x + E) (∀x ∈ R，∀E ∈ B(R)).
ただし, x + E = {x + y : y ∈ E}.
このとき, 次の問いに答えよ. (1) 各 x ∈ R に対して
(
g(x) =
µ((0, x])
(x ≥ 0), −µ((x, 0]) (x < 0)
と定義される関数 g について, 次を示せ.
(i) x ≤ y の時, µ((x, y]) = g(y) − g(x).
(ii) g は, 右連続関数.
(iii) x, y ∈ R について, g(x + y) = g(x) + g(y).
(2) (1) の結果から, x ≤ y の時, µ((x, y]) = λ((x, y]) (ただし, λ
は
1 次元ルベーグ測度を表す）を示せ.
さらに, µ(E) = λ(E) (∀E ∈ B(R)) を示せ.
7
4 次元ユークリッド空間 R4 と 2 次元複素数空間 C2 を写像
F : R 4 → C2 ,
F (x) = (x1 + ix2 , x3 + ix4 ) (x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 )
で同一視する. このとき, 次の各問に答えよ.
(1) 写像 J : R4 → R4 を
J(x) = F −1 (iF (x)) (x ∈ R4 )
で定義すると, x と J(x) は直交することを示せ.
(2) 3 次元球面
S3 = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 + (x4 )2 = 1}
上の各点 x ∈ S3 に対して, x を始点とし x + J(x) を終点とす
る
ベクトルを X(x) で表す. このとき, X(x) は S3 の x における
接ベクトルであり, かつ X は S3 上の特異点のない C ∞ 級ベ
ク
トル場であることを示せ.
8
X, X1 , X2 , · · · を確率変数とする．ある p > 0 に対して
lim E|Xn − X|p = 0
n→∞
が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 任意の ² > 0 に対して P (|Xn − X| > ²) → 0 (n → ∞) が成り
立つことを示せ．
(2) f (x) が R 上の有界連続関数のとき limn→∞ E|f (Xn )−f (X)| =
0 を示せ．
(3) f (x, y) が R2 上の有界連続関数のとき un (x) = Ef (x, Xn ),
u(x) = Ef (x, X) とおくと un (x) は u(x) に広義一様収束する
ことを示せ．
(4) (3) の結果を利用して
f が R 上の有界連続関数のとき
Z ∞r
ny
n − 2
un (x) =
e 2 f (x + y)dy とおくと，n → ∞ のとき
2π
−∞
un (x) は f (x) に広義一様収束することを示せ．
9
p, q, r を命題変数とする. また, ∧, ∨, →, ¬ はそれぞれ「かつ
(and)」,「または (or)」,「ならば (if · · · then)」,「∼ でない (not)」
を表す.
(1) 直観主義命題論理において, 次の論理式が証明可能であること
を示せ.
((p∧q)∨(p∧r)) → (p∧(q ∨r))
(2) 直観主義命題論理において, 次の論理式が証明可能でないこと
を示せ.
((p → q) → p)) → p
(3) 命題論理の論理式 A および B を ∧, ∨ 以外の論理記号を含ま
ないものとする. 古典命題論理で A → B が証明可能ならば,
直観主義命題論理においても A → B が証明可能であることを
示せ.