プリント(p17-22)

【微分方程式 (2009 年度 真貝)】 3. 2 階の微分方程式
17
2 階の微分方程式
3
高階微分方程式の種類
3.1
• 定数係数同次（斉次）2 階線形微分方程式
00
0
y + a y + by = 0
(3.1)
これからの説明順に名
前を列挙する．
• 定数係数同次（斉次）高階線形微分方程式
y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y 0 + an y = 0
(3.2)
• 定数係数非同次（非斉次）2 階線形微分方程式
y 00 + a y 0 + by = Q(x)
(3.3)
• 変数係数非同次（非斉次）2 階線形微分方程式
y 00 + P1 (x) y 0 + P2 (x)y = Q(x)
(3.4)
必要となる数学のまとめ
3.2
3.2.1
1 次独立
• 「ベクトル ~a, ~b が 1 次独立である」とは，~a 6= k~b であること，すなわち，線形結合さ
れたベクトル k~a + l~b がそのベクトルの成分の数だけの次数空間（2 成分なら 2 次元空
間）を張ることである．
• 「関数 f (x), g(x) が 1 次独立である」とは，f (x) 6= kg(x) であること，すなわち，ロ
ンスキー行列式 (3.6) がゼロでないことである．
c1~a1 + c2~a2 + · · · + cn~an = 0
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + · · · + cn fn (x) = 0
c1 = c2 = · · · = cn = 0 以外でも，(3.5) が成立
(3.5)
ロンスキー行列式，Wronskian
2 つの関数 f (x), g(x) に対して定義される次の行列式 W (f (x), g(x)) をロンスキー行列
式 (Wronskian) という．
¯
¯
¯ f (x) g(x) ¯
¯
W (f (x), g(x)) = det ¯¯ 0
(3.6)
f (x) g 0 (x) ¯
• W (f (x), g(x)) 6= 0 である関数の組は， 1 次独立である．
これを拡張して，n 個の関数 u1 , u2 , · · · , un に対してもロンスキー行列式が定義される．
¯
¯
¯ u1
u2
···
un ¯
¯
¯
¯ u01
u02
···
u0n ¯¯
¯
W (u1 , u2 , · · · , un )(x) = det ¯
(3.7)
..
..
..
¯
..
¯
¯
.
.
.
.
¯ (n−1)
¯
(n−1)
(n−1) ¯
¯ u
u
··· u
1
「関数の 1 次独立性」は
今まで習っていない内
容かも．
~a1 , ~a2 , · · · , ~an は，1 次独立
f1 , f2 , · · · , fn は，1 次独立
~a1 , ~a2 , · · · , ~an は，1 次従属
f1 , f2 , · · · , fn は，1 次従属
c1 = c2 = · · · = cn = 0 のときだけ，(3.5) が成立
3.2.2
この章は，2 階の微分方
程式の解き方を説明す
るために必要な数学を
まとめる．
2
n
• 関数 u1 , u2 , · · · , un の組が 1 次独立であるための必要十分な条件は，任意の実数 x に
対して，次式が成り立つこと．
W (u1 , u2 , · · · , un )(x) 6= 0
(3.8)
Wronskii(1776-1853)
関数の 1 次独立性の判
定方法
【微分方程式 (2009 年度 真貝)】 3. 2 階の微分方程式
• 2 × 2 行列の行列式は，
¯
¯ a
det ¯¯ 11
a21
a12
a22
18
「線形数学」の内容
念のため「行列式」の復
習
¯
¯
¯ = a11 a22 − a12 a21
¯
• 3 × 3 行列の行列式は，サラスの公式
¯
¯
¯ a11 a12 a13 ¯
¯
¯
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
det ¯¯ a21 a22 a23 ¯¯ =
−a
13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32
¯ a31 a32 a33 ¯
このような見た目に覚
えやすい公式は，4 × 4
以上の行列の行列式で
は成り立たない．
• 一般の n × n 行列 A := (aij ) の行列式の定義は，
1. 各成分の置換の符号 sgn(P ) を用いて，
detA =
n
n ∑
∑
元の整列した並び方か
ら隣り合う 2 つを偶数
回（奇数回）置き換える
ことでできる列を偶置
換（奇置換）という．
sgn(P )a1p1 a2p2 · · · anpn
i=1 j=1
sgn(P ) は，p1 , p2 , · · · の並び方が偶置換なら +1, 奇置換なら-1 とする記号．
2. 小行列に分解して
detA =
n
∑
(−1)k+1 a1k detA1k
k=1
a1k は，A の 1k 成分．A1k は，A から 1 行目 k 列目を取り除いた行列
3.2.3
Euler の公式
• Taylor 級数展開
f (x) が n 回微分可能であるとする．a を定数，x を任意の数とすると，
f (x) = f (a) +
∞
∑
f (k) (a)
k=1
k!
「微積分 I」の内容
テーラー (1685-1731)
(x − a)k
(3.9)
• Maclaurin 展開（x = 0 のまわりでの Taylor 展開）
f (x) = f (0) +
∞
∑
f (k) (0)
k=1
ex
=
k!
マ ク ロ ー リ ン (16981746)
xk
∞
∑
x2
x3
xn
=1+x+
+
+ ···
n!
2!
3!
n=0
sin x =
∞
∑
(−1)n 2n+1
x3
x5
x7
x
=x−
+
−
+ ···
(2n + 1)!
3!
5!
7!
n=0
cos x =
∞
∑
x2
x4
x6
(−1)n 2n
x =1−
+
−
+ ···
(2n)!
2!
4!
6!
n=0
log(1 + x)
• θ を実数，i =
√
=
(3.10)
∞
∑
(−1)n+1 n
x2
x3
x4
x =x−
+
−
+ · · · (−1 < x ≤ 1)
n
2
3
4
n=0
オイラー (1707-1783)
−1 とすると，Maclaurin 展開から Euler の公式が導かれる．
eiθ = cos θ + i sin θ
(3.11)
ナント指数関数と三角
関数が，虚数単位を使っ
て結びついた!!
微積分の佳境の一つ
【微分方程式 (2009 年度 真貝)】 3. 2 階の微分方程式
3.3
19
定数係数同次 2 階線形微分方程式
定数係数同次（斉次）2 階線形微分方程式
y 00 + a y 0 + by = 0
3.3.1
(3.1) である．
(3.12)
すぐ解ける場合
1. y 00 = 0 ならば，積分することにより，一般解は，y = Ax + B ．
これらの解の特徴を 3
つ挙げよ．
特徴１：
特徴２：
特徴３：
一般の場合を考えても
これらが成り立つはず．
2. y 00 + y = 0 の一般解は，y = A cos x + B sin x．
3. y 00 − y = 0 の一般解は，y = Aex + Be−x ．
4. y 00 + k 2 y = 0 の一般解は，y = A cos(kx) + B sin(kx)．
5. y 00 − k 2 y = 0 の一般解は，y = Aekx + Be−kx ．
3.3.2
線形微分方程式の解の特徴
f (x), g(x) が，どちらも (3.12) の解であるならば，それらの 1 次結合である
y = Af (x) + Bg(x)
線形なので足しても解
になる，ということ．
(3.13)
も (3.12) の解である．
3.3.3
同次 2 階線形微分方程式の解
f (x), g(x) が，どちらも (3.12) の解であり，f (x) と g(x) が 1 次独立であるならば，(3.12)
の一般解は，
y = Af (x) + Bg(x)
(3.14)
で与えられる．
3.3.4
一般解がこう表せてし
まうのでウレシイ．
「1 次独立」は，3.2.1,
3.2.2 参照．
特性方程式
複素数 λ = a + ib をベキにもつ指数関数 y = eλx を考える．
複素数ベキであっても，
微分公式は成り立つ．
• y = eλx を (3.12) に代入すると，
d λx
e
dx
2
d λx
e
dx2
(λ2 + a λ + b)eλx = 0
すなわち，解であるためには，λ は
λ2 + a λ + b = 0
(3.15)
を満たせばよい．
• (3.15) を (3.12) に対する「特性方程式」，(3.15) の解を「特性解（根）」という．
• 特性解 λ をベキにもつ指数関数 eλx は，(3.12) の特殊解である．
• (3.12) の特殊解 y1 = eλ1 x , y2 = eλ2 x が 1 次独立ならば，(3.12) の一般解は，
y = Aeλ1 x + Beλ2 x
となる．このようになる 2 組の特殊解を基本解という．
(3.16)
= λeλx
= λ2 eλx
Euler の公式 3.2.3 を参
照
【微分方程式 (2009 年度 真貝)】 3. 2 階の微分方程式
3.3.5
20
定数係数同次 2 階線形微分方程式のまとめ
定数係数同次 2 階線形微分方程式 教科書 p40
y 00 + ay 0 + by = 0
特性方程式 λ2 + a λ + b = 0 の判別式によって，次のように一般解が分類される．
1. D > 0 のとき （特性解が異なる 2 実数 λ1 , λ2 (λ1 6= λ2 ) のとき）
一般解は y = c1 eλ1 x + c2 eλ2 x
2. D = 0 のとき （特性解が 1 実数・重解 λ1 のとき）
一般解は y = (c1 + c2 x)eλ1 x
3. D < 0 のとき （特性解が共役な複素数 p ± iq (p, q は実数，q > 0) のとき）
一般解は y = epx (c1 cos qx + c2 sin qx)
3.3.6
初期値問題
• 微分方程式 (3.12) の一般解 y(x) は，2 つの積分定数 c1 , c2 を持つ．
• これらの一般解の中で，
「初期条件」
y(x0 ) = α0 , y 0 (x0 ) = α1
(3.17)
を満たす解を求める問題を，
「初期値問題」という．
• 一般解の中で，初期条件を満たすものは，必ず存在する．
• 初期値問題の解は，ただ一つしか存在しない．
「解の一意性」という．
一般解を構成する関数
解の 1 次独立性から．
授業の題材（2 階微分方程式， Part 1）
2.1
(1) Euler の公式 eiθ = cos θ + i sin θ を示せ。
(2) 複素数 λ に対する微分公式 d λx
e = λeλx を示せ。
dx
微積 I
教科書 p33
2.2 次の関数の組は 1 次独立か，そうでないか．
（a, b は定数とする．
）
(1) (eax , ebx )
(2) (eax , xeax )
(3) (sin ax, cos ax)
(4) (1, x, x2 )
2.3 次の微分方程式を解け．
00
(1) y + 9y = 0
(2) y 00 + 2y 0 − 3y = 0
(3) y 00 + 2y 0 + y = 0
(4) y 00 + 2y 0 + 5y = 0
教科書 p41, p49 も解く
こと
【微分方程式 (2009 年度 真貝)】 3. 2 階の微分方程式
2.4 ばね定数 k(> 0) のばねが x だけ伸びたときの復元力は −kx である（Hooke の法則）．
ばねに質量 m のおもりをつけ振動させるとき，次の問いに答えよ．ばね自身の重さは
考えなくて良いものとする．
21
ばねの問題
(1) 摩擦のない水平面上で、ばねにつけたおもりの運動方程式は
m
d2 x
= −kx
dt2
となる．
i. この方程式の一般解を求めよ．
ii. 時刻 t = 0 で，位置 x = 0 にあったおもりが，初速度 v = v0 を与えられたと
きの解を求めよ．
iii. 時刻 t = 0 で，位置 x = x0 にあったおもりが，静かに固定を放たれたとき解
を求めよ．
(2) 鉛直面上でのばねの運動を考える．重力を受けることにより，運動方程式は（上
向きを正として）
m
d2 x
= −kx − mg
dt2
となる．この方程式の一般解を求め，振動の中心がどこにあるかを述べよ．
2.5 質量 m のおもりをつけた長さ ` の振り子の周期を考えよう．時刻 t における振り子が
鉛直方向となす角度 θ(t) は，おもりの変位 x と，x = `θ の関係になるので，おもりの
d2 x
d2 θ
加速度 a は，a = 2 = ` 2 となる．したがって，おもりに働く運動方程式は，
dt
dt
m`
振り子の問題
d2 θ
= −mg sin θ
dt2
となる．θ が微小であれば，sin θ ≈ θ と近似できるので，次の微分方程式になる．
d2 θ g
+ θ=0
dt2
`
一般解を求め，運動の周期 T を求めよ．
2.6 ばね定数 k(> 0) のばねが x だけ伸びたときの復元力は −kx である（Hooke の法則）．
いま，水平面上で運動するが，速度に比例する空気抵抗を受ける場合を考えると，運動
方程式は，γ(> 0) を比例定数として
m
d2 x
dx
= −kx − γ
dt2
dt
となる．この運動の一般解を論じよ．
ばねの減衰振動
【微分方程式 (2009 年度 真貝)】 3. 2 階の微分方程式
3.4
22
定数係数同次高階線形微分方程式
定数係数同次高階線形微分方程式 教科書 p51
y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y 0 + an y = 0
解き方： 1. 対応する特性方程式
λn + a1 λn−1 + · · · + an−1 λ + an = 0
(3.18)
の n 個の解（特性根）を求める．
2. それぞれの特性根に対応した基本解 yn を，重複度によって次のように構成する．
(1) 重複度 l の実数の特性解 α には，l 個の関数
eαx , xeαx , x2 eαx , · · · , xl−1 eαx
(2) 重複度 m の虚数の特性解 p ± qi には，2m 個の関数
{
epx cos qx, xepx cos qx, · · · , xm−1 epx cos qx
epx sin qx, xepx sin qx, · · · , xm−1 epx sin qx
3. 基本解を任意定数を用いて「1 次結合」すれば，一般解 y となる．
y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + · · · + cn yn (x)
• 「1 次独立」かどうかは，Wronskian (3.7) を用いた条件 (3.8) で判定される．
授業の題材（2 階微分方程式， Part 2）
このプリントは，授業で扱いたい問題を載せています．
各自，計算練習は，教科書の章末問題等で進めてください．
2.7 次の微分方程式を解け．
(1) y 000 − y 00 − 4y 0 + 4y = 0
(2) y 000 − 3y 0 + 2y = 0
(3) y 000 + 3y 00 + 3y 0 + y = 0
(4) y 000 − 4y 00 + 5y 0 = 0
以上で「定数係数同次高階微分方程式」まで．
教科書 p53 も解くこと