1．原子の構造と周期律 水素原子 Bohrの量子条件 物質波（ド・ブロイ波）

１．原子の構造と周期律
水素原子
§1-2. １電子原子の電子状態 ー 古典論
制動放射 (Bremsstrahlung)
電子が１個だけの原子
m p = 1.6726 ! 10 "27 !(kg)
（荷電粒子が加速度運動をすると電磁波を放射する）
水素原子
m e = 9.1094 ! 10 "31 !(kg)
電子
電子と陽子の間の引力：クーロン力
ポテンシャル：V (r ) = !
電磁波のエネルギー ! 電子の運動エネルギー
�
電子の運動エネルギーが減少
1 e2
4"# 0 r
陽子
力のつり合い：クーロン力＝遠心力
電子の回転半径が減少
あり得ない！
§1-2. １電子原子の電子状態 ー 古典論
物性概論 [10年度前期]
18
Bohrによる「要請」(1913)
I. ［量子条件］
原子核の周りを回っている電子は
ニュー
とびとびの値：量子化
（ n = 1, 2, 3, .... ）
という条件を満たす軌道のみ許される。
I．原子の構造と周期律
!=
h
2!
19
Einsteinの光量子仮説 (1905)
hc
E h! h
E
= h! = ，運動量 =
p= =
!
振動数 の光はエネルギー
"
c
"
c
ラムダ
物質波（de Broglie波）(1924)
h
!=
運動量 p の粒子は波長 の波の性質を持つ
p
h! = En " Em
§1-2. １電子原子の電子状態 ー 古典論
物性概論 [10年度前期]
を持つ粒子として振る舞う
II. ［振動数条件］
原子があるエネルギー準位 En からそれよりも低い準位 Em
に移る（遷移する）とき，その差のエネルギーを持った光
子が放出される。［連続的に
I．原子の構造と周期律
§1-2. １電子原子の電子状態 ー 古典論
物質波（ド・ブロイ波）
Bohrの量子条件
mevr = n!
�
原子がつぶれる！
v2
1 e2
=
m
e
4!" 0 r 2
r
I．原子の構造と周期律
�
�
ドブロイ波長
物性概論 [10年度前期]
20
I．原子の構造と周期律
§1-2. １電子原子の電子状態 ー 古典論
物性概論 [10年度前期]
21
Bohrの原子模型
Bohrの量子条件：mevr
ドブロイ波長：
!=
Bohrの原子模型
水素原子の軌道半径の計算
= n!
遠心力とクーロン力のつり合い
安定
h
h
=
p mev
1 e2
v2
m =
r
4!" 0 r 2
!n " = 2# r
�
量子条件
電子の波が軌道上で
n ! = 2" rn
定常波を作る条件
不安定
電子が安定な軌道を
4!" 0 ! 2 2
n
rn =
me 2
運動する
I．原子の構造と周期律
�
§1-2. １電子原子の電子状態 ー 古典論
物性概論 [10年度前期]
22
I．原子の構造と周期律
電子の軌道半径はとびとびの値を取る
§1-2. １電子原子の電子状態 ー 古典論
物性概論 [10年度前期]
Bohrの原子模型
Bohrの原子模型
水素原子のエネルギー準位の計算
水素原子
4!" 0 ! 2 2
rn =
n
me 2
= 5.29 # 10 $11n 2 !(m)
［電子の全エネルギー］＝［運動エネルギー］＋［位置エネルギー］
1
1 e2
e2 1
=!
En = mv 2 !
8"# 0 rn
2
4"# 0 rn
=!
1
me
2 2 2
32" # 0 ! n 2
!m
1 e
v
=
r
4!" 0 r 2
2
2
En = !
r1 = 5.29 ! 10 "11 !(m)
4
エネルギーはとびとびの値を取る
=!
23
1
me 4
2 2 2
32" # 0 ! n 2
13.6
!(eV)
n2
E1 = !13.6!(eV)
水素原子の電子軌道半径
水素原子の
（Bohr半径）
イオン化エネルギー
［原子の大きさ∼10-10 m］
I．原子の構造と周期律
§1-2. １電子原子の電子状態 ー 古典論
物性概論 [10年度前期]
24
I．原子の構造と周期律
§1-2. １電子原子の電子状態 ー 古典論
物性概論 [10年度前期]
25
１．原子の構造と周期律
Bohrの原子模型
§1-3. １電子原子の電子状態 ー 量子論
•
•
•
(i) 波動関数
二つの「要請」には「裏付け」はない
h
!=
運動量 p の粒子は波長 の波の性質を持つ（de
Bloglie波）
p
実験事実を完全に記述できる
量子力学で得られる結論と全く同じ
粒子を波として扱う
波としての状態を表す関数：波動関数
I．原子の構造と周期律
§1-2. １電子原子の電子状態 ー 古典論
物性概論 [10年度前期]
26
I．原子の構造と周期律
(i) 波動関数
y
y = sin(
!
2!
x ) = sin(kx )
"
§1-3. １電子原子の電子状態 ー 量子論
物性概論 [10年度前期]
27
物性概論 [10年度前期]
29
(i) 波動関数
k：波数
y = exp(! x )sin(x )
x
y
y = sin(
T
2!
t ) = sin("t )
T
"：角振動数，角速度
粒子は「局在」している
t
I．原子の構造と周期律
§1-3. １電子原子の電子状態 ー 量子論
物性概論 [10年度前期]
28
I．原子の構造と周期律
§1-3. １電子原子の電子状態 ー 量子論
(i) 波動関数
プサイの大文字
(ii) シュレディンガー方程式
(wave function)
(Schrödinger Equation)
! = Aexp [i(kx " #t )]
! = Aexp [i(kx " #t )]
x で微分する
= A[ cos(kx " #t ) + i sin(kx " #t )]
!"
= ikAexp [i(kx # $t )] = ik"
!x
変形
とりあえずはこの形の波動関数を使ってみる
! !
h
h 2"
" = p" ! p = =
" = "k,!!" =
i !x
! !
2"
! に
! !
という演算をすると，運動量 x! になる
i !x
! !
：運動量を求める演算子 ＝「運動量演算子」
i !x
(Momentum Operator)
I．原子の構造と周期律
§1-3. １電子原子の電子状態 ー 量子論
物性概論 [10年度前期]
30
I．原子の構造と周期律
(ii) シュレディンガー方程式
!
2
2
! "
# +V# = E#
2m "x 2
! = Aexp [i(kx " #t )] を入れてみる
# ! 2 "2
&
% ! 2m "x 2 Aexp(ikx ) +VAexp(ikx ) ( exp(!i)t )
$
'
= EAexp(ikx )exp(!i)t )
プサイの小文字
時間に依存しない波動関数 ! = Aexp(ikx )
2mK
! 2 "2
"2
#
=
$
#
,!!$
# = K#
"x 2
2m "x 2
!2
# ! 2 "2
&
%$ ! 2m "x 2 +V (' ) = E)
エネルギー演算子
(Energy Operator)
! 2 #2
$ +V$ = E$
!"
2m #x 2
§1-3. １電子原子の電子状態 ー 量子論
31
(Schrödinger Equation)
全エネルギー E ＝ 運動エネルギー K ＋ポテンシャルエネルギー V
Kinetic Energy
Potential Energy
I．原子の構造と周期律
物性概論 [10年度前期]
(ii) シュレディンガー方程式
(Schrödinger Equation)
! !
" = p" = !k" をもう一度 x で微分する
i !x
! !2
!
"2
2
"
=
!k
"
=
i!k
"
# = $k 2#
!
i !x 2
"x 2
!x
p 2 ! 2k 2
1
2
=
運動エネルギー：K = mv =
2m 2m
2
!
§1-3. １電子原子の電子状態 ー 量子論
物性概論 [10年度前期]
32
I．原子の構造と周期律
§1-3. １電子原子の電子状態 ー 量子論
時間に依存しない
シュレディンガー方程式
(Time - independent
Schrödinger Equation)
物性概論 [10年度前期]
33
2
(ii) シュレディンガー方程式
(ii) シュレディンガー方程式
(Schrödinger Equation)
(Schrödinger Equation)
! を時間で微分してみる
2
# ! "
&
%$ ! 2m "x 2 +V (' ) = E)
!
!
" = Aexp [i(kx # $t )] = #iw"
!t
!t
! ：固有関数（Eigenfunction）
E ：エネルギー固有値（Energy Eigenvalue）
H !"
定義
i!
! 2 #2
+V ：ハミルトニアン
2m #x 2
(Hamiltonian)
KE
PE
!i!
§1-3. １電子原子の電子状態 ー 量子論
(Time - dependent Schrödinger Equation)
物性概論 [10年度前期]
34
I．原子の構造と周期律
(iii) 「物理量」の求め方
エネルギー
（虚数で表されるものは測定できない）
! !
" = p"
i !x
§1-3. １電子原子の電子状態 ー 量子論
物性概論 [10年度前期]
35
(iii) 「物理量」の求め方
物理量（Physical Quantity）：測定可能な量，観測可能な量
運動量
"
# = E# !
"t
時間に依存するシュレディンガー方程式
H ! = E! と書くことも多い
I．原子の構造と周期律
!
" = !w" = E" !!("E = !w)
!t
左から ! * をかけて全空間で積分する
H! = E!
*
左から! * をかけて全空間で積分する
*
*
" ! H! dx = " ! E! dx = E " ! ! dx = E
複素共役
* ! "
*
*
# ! i "x !dx = # ! p!dx = p # ! !dx
& ! 2 %2
)
!E = # " *H" dx = # " * ( $
+V + " dx
2
' 2m %x
*
ある場所に電子が存在する確率（存在確率）
全空間で積分したら確率は１
! # " *"dx = 1 !規格化条件 (Normalization Condition)
! p = $" *
I．原子の構造と周期律
! #
"dx
i #x
! 測定可能な量が求まった
§1-3. １電子原子の電子状態 ー 量子論
物性概論 [10年度前期]
36
I．原子の構造と周期律
§1-3. １電子原子の電子状態 ー 量子論
物性概論 [10年度前期]
37
(iv) シュレディンガー方程式を解く
井戸型ポテンシャル
(iv) シュレディンガー方程式を解く
井戸型ポテンシャル
長さ L の１次元のポテンシャルの井戸の中
V
電子の状態は時間によって変化しない"時
間に依存しないSchrödinger方程式を解く
V
に，電子が１個閉じこめられている
x ! 0, x " L ではポテンシャルが無限大だか
ら，そこには電子は存在できない（波は存
在しない）
横軸は位置 x，縦軸はポテンシャルエネル
ギー V(x)
V (x ) = 0!!!(0 ! x ! L)
= "!!(x < 0,!x > L)
0
L
I．原子の構造と周期律
V = 0 の場所だけ考えれば良い
x
0
§1-3. １電子原子の電子状態 ー 量子論
物性概論 [10年度前期]
L
I．原子の構造と周期律
38
(iv) シュレディンガー方程式を解く
!
井戸型ポテンシャル
V
x
! 2 "2
# = E#
2m "x 2
I．原子の構造と周期律
V
39
境界条件 (Boundary Condition)
! (0) = ! (L) = 0
x = 0, L では波動関数 = 0
! (L) = Asin(kL) = 0!!"!kL = n# !!(n = 1, 2,....)
!kn =
n"
L
波数は連続的な値は取れず，
とびとびの値しか取れない
! = Asin(kx )
§1-3. １電子原子の電子状態 ー 量子論
物性概論 [10年度前期]
! = Asin(kx )
井戸型ポテンシャル
２回微分して自分自身の定数倍になり，
符号が変わる関数
x
この微分方程式を解く！
(iv) シュレディンガー方程式を解く
!
2mE
" =# 2 "
2
!x
!
L
! 2 "2
# = E#
2m "x 2
§1-3. １電子原子の電子状態 ー 量子論
2
0
!
0
物性概論 [10年度前期]
40
L
I．原子の構造と周期律
x
量子 quantum
! (x ) = Asin(kn x ) = Asin(
§1-3. １電子原子の電子状態 ー 量子論
n"
x)
L
物性概論 [10年度前期]
41
(iv) シュレディンガー方程式を解く
! (x ) = Asin(kn x ) = Asin(
(iv) シュレディンガー方程式を解く
n"
x)
L
! (x ) =
規格化条件 (Normalization Condition)
L
" ! !dx = 1
*
!A
sin 2 (kn x ) =
0
2
2
2
n"
sin(kn x ) =
sin( x )
L
L
L
Schrödinger方程式が解けた！
sin (kn x )dx = 1
2
1
(1! cos 2kn x )
2
L
L
& A2 )
A2 #
1
L,
dx
"
cos
2k
x
dx
sin 2kn x ]0 [
*L "
%!
(=
n
!
2 $0
2kn
.
' 2 +
0
2
1
!A =
= A 2L = 1
L
2
L
2
2
! A sin (knx )dx =
0
I．原子の構造と周期律
§1-3. １電子原子の電子状態 ー 量子論
物性概論 [10年度前期]
L
n=1
n=2
n=3
42
(iv) シュレディンガー方程式を解く
エネルギーを求める
!
! 2 "2
!
2m "x 2
! 2 "2
# = E#
2m "x 2
! (x ) =
2
n"
sin( x )
L
L
2
2
n#
! 2 2 $ n# '
n#
2
n#
sin( x ) =
sin( x )
&% )( sin( x ) = E
L
L
2m L L
L
L
L
!En =
I．原子の構造と周期律
2
!2 # " & 2
% ( n
2m $ L '
§1-3. １電子原子の電子状態 ー 量子論
物性概論 [10年度前期]
x
44
I．原子の構造と周期律
§1-3. １電子原子の電子状態 ー 量子論
物性概論 [10年度前期]
43