ノルムELEC

制御数学
Basic Mathematics for Control Engineers
講義予定
第 1回
第 2回
第 3回
第 4回
第 5回
第 6回
第 7回
第 8回
第 9回
第10回
第11回
第12回
第13回
第14回
第15回
第16回
信号とシステム
線形時不変システム
ラプラス変換
ラプラス変換の性質
逆ラプラス変換
信号のノルム
中間試験
離散時間信号とシステム
離散時間LTIシステム
ｚ変換
逆ｚ変換
行列式・逆行列
固有値・行列のランク
行列の対角化
期末試験
答案返却と解説
知能制御工学コース2年生 前期
火曜日3限 選択必修 2単位
担当：西田 健 准教授
教科書
「信号・システム理論の基礎」
足立修一，コロナ社
「制御工学演習」
明石，今井，共立出版
第1回
信号とシステム
1.1 信号の分類
信号（signal）：物理系の状態に関する情報をなんらかの方法で伝達する量
離散化（discretization）：連続した信号をとびとびの値に分割すること。
量子化（quantization）：連続信号を離散値で近似的に表現すること。
離散化
量子化
時間 [s]
第1回
信号とシステム
1.1 信号の分類
取り扱う時間が連続か離散かによって信号を分類
連続時間信号（continuous-time signal）
アナログ信号（analog signal）
連続振幅
多値信号（multi-level signal）
離散振幅
離散時間信号（discrete-time signal）
サンプル値信号（sampled signal）：離散間隔でサンプルされた信号
ディジタル信号（digital signal）
：サンプル値信号を量子化した信号
第1回
信号とシステム
1.1 信号の分類
システム（system）入力信号𝑥(𝑡)を出力信号𝑦(𝑡)に写像するもの
入力信号
𝑥(𝑡)
出力信号
システム
𝑦(𝑡)
連続時間システム（continuous-time system）
離散時間システム（discrete-time system）
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.1 正弦波信号（sinusoidal signal）
𝑥 𝑡 = 𝐴cos 𝜔0 𝑡 + 𝜙
𝑡 : 時間[s]
𝐴 : 振幅（magnitude）
𝜔0 : 角周波数（angular frequency） [rad/s]
𝜙 : 位相（phase） [rad]
𝜔0 = 2π𝑓0
𝑓0 : 周波数（frequency） [Hz]
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.1 正弦波信号（sinusoidal signal）
周期性
すべての𝑡に対して
𝑥 𝑡 = 𝑥(𝑡 + 𝑇)
が成り立つような整数𝑇が存在するとき，信号𝑥 𝑡 は周期𝑇の周期信号
と呼ばれる．
またこの式を満たす𝑇は無数存在するが，その中で最小の整数𝑇0 を
基本周期と呼ぶ。
また，基本周期に対応する𝜔0 を基本角周波数と呼ぶ．
2π
1
𝑇0 =
=
𝜔0
𝑓0
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.2 複素指数信号（complex exponential signal）
𝑥 𝑡 = 𝐶𝑒 𝑎𝑡
（１） 𝑪と𝒂がともに実数の場合
𝑎<0
減少実指数信号
𝑎>0
増大実指数信号
𝑥 𝑡
0
𝑡
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.2 複素指数信号（complex exponential signal）
𝑥 𝑡 = 𝐶𝑒 𝑎𝑡
Im
𝑗
（２） 𝒂が純虚数の場合
𝑥 𝑡 =
絶対値
偏角
sin𝜔0 𝑡
𝐶=1
𝑗𝜔
𝑡
0
𝑒
𝑗 = −1
𝑥 𝑡
= 1, ∀𝑡
∠𝑥 𝑡 = 𝜔0 𝑡
𝑒 𝑗𝜔0𝑡 = 𝑒 𝑗𝜔0(𝑡+𝑇)
2π
𝑇0 =
𝜔0
オイラーの関係式
𝑒 𝑗𝜔0𝑡 = cos𝜔0 𝑡 + 𝑗sin𝜔0 𝑡
𝜔 →大
𝜔0 𝑡
−1
0
−𝑗
1
cos𝜔0 𝑡
Re
𝑡=0
𝑒 𝑗𝜔0𝑡 = 1
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.2 複素指数信号（complex exponential signal）
（２） 𝒂が純虚数の場合
𝑒 𝑗𝜔0𝑡 = cos𝜔0 𝑡 + 𝑗sin𝜔0 𝑡
𝑒 −𝑗𝜔0𝑡 = cos𝜔0 𝑡 − 𝑗sin𝜔0 𝑡
1 𝑗𝜔 𝑡
𝑒 0 + 𝑒 −𝑗𝜔0 𝑡
2
1 𝑗𝜔 𝑡
sin𝜔0 𝑡 =
𝑒 0 − 𝑒 −𝑗𝜔0 𝑡
2𝑗
cos𝜔0 𝑡 =
𝐴 𝑗𝜙 𝑗𝜔 𝑡
𝐴cos 𝜔0 𝑡 + 𝜙 =
𝑒 𝑒 0 + 𝑒 −𝑗𝜙 𝑒 −𝑗𝜔0 𝑡
2
𝐴 𝑗𝜙 𝑗𝜔 𝑡
𝐴sin 𝜔0 𝑡 + 𝜙 =
𝑒 𝑒 0 − 𝑒 −𝑗𝜙 𝑒 −𝑗𝜔0𝑡
𝑗2
𝐴cos 𝜔0 𝑡 + 𝜙 = 𝐴 ∙ Re[𝑒 𝑗(𝜔0𝑡+𝜙) ]
𝐴sin 𝜔0 𝑡 + 𝜙 = 𝐴 ∙ Im[𝑒 𝑗(𝜔0 𝑡+𝜙) ]
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.2 複素指数信号（complex exponential signal）
（３） 𝑪と𝒂がともに複素数の場合
𝑥 𝑡 = 𝐶𝑒 𝑎𝑡
𝐶 = 𝐶 𝑒 𝑗𝜃 : 周期的複素指数信号
𝑎 = 𝜎 + 𝑗𝜔0 ：複素数
𝑥 𝑡 = 𝐶 𝑒 𝑗𝜃 𝑒 (𝜎+𝑗𝜔0)𝑡 = 𝐶 𝑒 𝜎𝑡 𝑒 𝑗(𝜔0𝑡+𝜃)
= 𝐶 𝑒 𝜎𝑡 cos 𝜔0 𝑡 + 𝜃 + 𝑗 𝐶 𝑒 𝜎𝑡 sin 𝜔0 𝑡 + 𝜃
= 𝐶 𝑒 𝜎𝑡 cos 𝜔0 𝑡 + 𝜃 + 𝑗 𝐶 𝑒 𝜎𝑡 cos 𝜔0 𝑡 + 𝜃 −
（a）𝜎 < 0のとき
減衰正弦波
（b）𝜎 = 0のとき
正弦波
（c）𝜎 > 0のとき
増加正弦波
𝜋
2
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.3 単位ステップ信号（unit step signal）
0,
𝑢𝑠 (𝑡) =
1,
𝑡<0
𝑡≥0
𝑢𝑠 (𝑡)
𝑢𝑠 (𝑡)
1
1
∆→ 0
0∆
0
𝑡
𝑢𝑠 (𝑡) = lim 𝑢∆ (𝑡)
∆→0
𝑡
𝑢𝑠 𝑡 =
∞
𝛿 𝜏 d𝜏 =
−∞
𝛿 𝑡 − 𝜎 d𝜎
0
𝑡
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.4 単位インパルス信号（unit impulse signal）
1
𝛿∆ (𝑡) = ∆ , if 0 < 𝑡 < ∆
0, otherwith
∞
𝛿 (𝑡) d𝑡 = 1
−∞
𝛿 𝑡 = 0, if 𝑡 ≠ 0
単位インパルス信号は
単位面積を持つ．
原点以外では単位インパルス信号
の値は0である．
任意の信号𝑥(𝑡)に対して以下が成立する．
∞
𝑥(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑎) d𝑡 = 𝑥(𝑎)
−∞
𝑥(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑎)=𝑥(𝑎)𝛿(𝑡 − 𝑎)
𝛿∆ (𝑡)
1
∆
∆→ 0
1
𝛿(𝑡)
𝛿(𝑡) = lim 𝛿∆ (𝑡)
∆→0
0
∆
𝑡
0
𝑡
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.5 矩形信号（rectangle signal）
0,
rect(𝑡) =
1,
𝑡 ≥ 0.5
𝑡 < 0.5
rect(𝑡)
1
0
−0.5
0.5
𝑡
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.6 符号信号
1, 𝑡 > 0
sgn(𝑡) =
−1 𝑡 < 0
sgn(𝑡)
1
0
𝑡
−1
第1回
信号とシステム
1.3 基本周期
二つの正弦波の信号の和
𝑓(𝑡) = cos 𝜔1 𝑡 + cos 𝜔2 𝑡
が，周期𝑇の周期信号であるためには，周波数の比が次式のように
有理数にならなければならない．
𝜔2 𝑚
=
𝜔1 𝑛
例題）
𝑡
𝑡
𝑓(𝑡) = cos + cos
3
4
𝑡
𝑡
𝑡+𝑇
𝑡+𝑇
cos + cos = cos
+ cos
3
4
3
4
𝑇
= 2𝜋𝑚
3
𝑇
= 2𝜋𝑛
4
cos(𝑡 + 2𝜋𝑚) = cos 𝑡
𝑇 = 6𝜋𝑚 = 8𝜋𝑛
𝑚 = 4, 𝑛 = 3, 𝑇 = 24𝜋
第1回
信号とシステム
1.4 信号の分解
信号𝑥(𝑡)が
𝑥(−𝑡) = 𝑥(𝑡)
を満たすとき、偶信号（even signal）と呼ばれる．
𝑥 −𝑡 = −𝑥(𝑡)
を満たすとき、奇信号（odd signal）と呼ばれる．
任意の信号𝑥 𝑡 は，偶信号の部分ℰ𝒱{𝑥 𝑡 }と奇信号の部分𝒪𝒟{𝑥 𝑡 }の和に
分解することができ，これを偶奇分解という．
𝑥 𝑡 = ℰ𝒱 𝑥 𝑡
ℰ𝒱 𝑥 𝑡
𝒪𝒟 𝑥 𝑡
+ 𝒪𝒟{𝑥 𝑡 }
1
= {𝑥 𝑡 + 𝑥(−𝑡)}
2
1
= {𝑥 𝑡 − 𝑥(−𝑡)}
2
第1回
信号とシステム
1.5 信号の操作
（1）信号の反転
𝑥(𝑡)
𝑥(−𝑡)
0
0
𝑡
𝑡
（2）時間軸スケーリング
𝑥(𝑡)
（3）時間軸推移
𝑥(𝑡)
0
𝑡
𝑥(𝑡)
0
0
𝑥(𝑡)
𝑡
𝑥(𝑡)
𝑘
𝑡
0
0
𝑡
𝑥(𝑡)
𝑡
𝑘 0
𝑡
第1回
信号とシステム
1.6 システム
力学システム（mechanical system）
ダンパ 𝑏
バネ 𝑘
質点 𝑚
𝑓
𝑥
d2 𝑥(𝑡)
d𝑥(𝑡)
𝑚
+𝑏
+ 𝑘𝑥 𝑡 = 𝑓(𝑡)
2
d𝑡
d𝑡
第1回
信号とシステム
1.6 システム
電気回路（electric circuit）
𝐿
𝑅
+𝑞(𝑡)
𝑒(𝑡)
𝑖(𝑡)
−𝑞(𝑡)
d2 𝑞(𝑡)
d𝑞(𝑡) 1
𝐿
+𝑅
+ 𝑞 𝑡 = 𝑒(𝑡)
2
d𝑡
d𝑡
𝐶
𝐶