H21 年度 2 次 識別可能な同種粒子 N 個からなる系を考える．1 つの

H21 年度 2 次
識別可能な同種粒子 N 個からなる系を考える．1 つの粒子がとり得るエネルギーを 0, 1 , 2
(0 < 1 < 2 ) とする．この系が温度 T の熱源と熱平衡にあるとして，以下の問いに答えよ．
1. 1 粒子の状態和 (分配関数) と全系の状態和を求めよ．
2. エネルギーが 0, 1 , 2 の状態にある粒子数 N0 , N1 , N2 を求めよ．
3. 系のエネルギー平均値を求めよ．
4. 系の比熱を求めよ．
H21 年度
N 個の粒子からなる系を考える．1 つの粒子は量子状態 1, 2 だけをとりうるとし，それぞれの
エネルギーを 1 , 2 とする．N 個の粒子のうち，N1 個が状態 1 にあり，N2 個が状態 2 にある
とする．系は温度 T の熱平衡にあるとし，以下の問いに答えよ．ただし，N, N1 , N2 1 とし，
ボルツマン定数を kB とする．必要ならばスターリングの公式 log N ! = N log N − N (N 1)
を用いてよい．
(a) 全エネルギー E を求めよ．
(b) N 個の粒子から N2 個の粒子を選び出す組み合わせの数 W を求めよ．
(c) 系のエントロピー S が
S = −N kB
N2
N2
N2
N2
log
+ 1−
log 1 −
N
N
N
N
となることを示せ．
(d) エントロピー S を，E, N , 1 , 2 を用いて表せ．
dS
1
(e)
= を用いて，エネルギー E を T の関数として表せ．
dE
T
(f) 系の比熱 C を求めよ．
H20 年度
互いに識別できる，相互作用していない N 個の調和振動子の系を考える．この調和振動子は
(> 0) の k 倍 (k は 0 以上の整数) のエネルギーしかとれないとして，以下の問いに答えよ．
(a) この系の状態和 (分配関数) Z を求めよ．
(b) この系のエネルギー平均値を求めよ．
(c) この系の熱容量 C を求めよ．
(d) 熱容量 C の温度変化の概略を図示せよ．
H19 年度 2 次
1 モルの理想気体を考える．圧力を p，体積を V ，絶対温度を T ，気体定数を R として，以下
の問いに答えよ．
(a) 理想気体の状態方程式を書け
(b) 準静的変化に対する熱力学の第一法則と第二法則を書け
(c) 気体の体積を V1 から V2 まで等温準静的に変化させたとき，気体になされた仕事を計算
せよ
(d) 問 (c) の変化のときの気体のヘルムホルツの自由エネルギー変化を求めよ
(e) 問 (c) の変化のときの気体のエントロピー変化を求めよ
H19 年度
N 個の原子が規則正しく並んだ結晶がある．これらの原子の一つが結晶内部の位置から抜け出
て結晶表面の格子点に移ると結晶内部に空孔とよばれる格子欠陥 (ショットキー欠陥) ができる．
原子を移すのに要するエネルギーを とし，n 個の欠陥ができたとして，以下の問いに答えよ．
ただし，N n 1 とする．必要ならスターリングの公式，log(W !) = W log W −W (W 1)，
を用いてもよい．
(a) 欠陥の配置の数を求めよ．
(b) エントロピーを n の関数として表せ．
(c) 内部エネルギーの増加分はいくらか．
(d) この系のヘルムホルツの自由エネルギーを求めよ．
(e) 温度 T における欠陥の数 n を求めよ．
H18 年度 2 次
n モルの理想気体を作業物質とする熱機関に，図のようなサイクル ( A→B→C→D→A) を準
静的に行わせる．A→B，C→D は断熱変化であり，B→C，D→A は定積変化である．定圧比熱
を Cp ，定積比熱を CV ，γ ≡ Cp /CV として以下の問いに答えよ．
(a) B→C の間に作業物質が外部から吸収する熱量 ∆Q を求めよ．
(b) １サイクルの間に作業物質がなす仕事 W を求めよ．
(c) このサイクルの熱効率 W/∆Q を，γ ，V1 ，V2 を用いて表せ．
H18 年度
~ の下に N 個の同種分子からなる系がある。この分子は大きさ p の電気双極子を持ち，図
電場 E
~ とする。以下の
のように一平面内で３つの方向に向くことができる。相互作用は H = −~
p·E
問いに答えよ。
1
E
120
120
2
120
3
(a) 一つの分子の電気双極子が図の 1,2,3 それぞれの方向を向いているとき，分子の相互作用
のエネルギー 1 , 2 , 3 を求めよ。
(b) 一粒子状態和 (分配関数) z と系の状態和 (分配関数) Z を求めよ。
(c) 温度 T において３つの状態にある分子の数 N1 , N2 , N3 を求めよ。
(d) 温度 T における系の内部エネルギー U を求めよ。
(e) 温度 T における系の分極 P を求めよ。
H17 年度 2 次
体積 V の中にある N 個の分子からなる古典的理想気体を考える．分子の質量を m，プランク
定数を h，ボルツマン定数を k とする．エネルギー状態密度は
3N
3N
V N (2πm) 2 E 2
Ω(E, V, N ) =
N !h3N
Γ 3N
2
のように与えられる．ここでガンマ関数は Γ(n) =
Z
∞
−1
tn−1 e−t dt である．以下の問いに答えよ．
0
(a) エネルギーが E と E + dE との間にある状態数はエネルギー状態密度を用いてどのように
書けるか．
(b) 状態和（分配関数）を求めよ．
(c) 温度 T での系のエネルギー平均値（内部エネルギー）が hEi = 23 N kT となることを示せ．
H17 年度
1 モルの理想気体が図のようなサイクル (A→B→C→D→A) を行う．以下の問いに答えよ．
P
P1
P2
A
D
V1
B
C
V2
V
(a) この気体が外部にする仕事 W を求めよ
(b) 定積比熱 CV ，定圧比熱 CP を用いて，気体が吸収する熱量 Q を求めよ．
(c) (a),(b) の結果を用いて，マイヤーの関係式，Cp − CV = R (R は気体定数) を導け