§3．数値微分

§３．数値微分
［第 5 回］
3.1 差分表示による数値微分
ニュートンの補間多項式より
∆f0
∆2 f0
(x − x 0 ) +
(x − x 0 )(x − x 1 )
h
2h 2
∆3 f0
+
(x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 2 )
6h 3
!
f (x ) = f0 +
+
(3.1)
∆n f0
(x − x 0 )(x − x 1 )"(x − x n −1 ) + "
n !hn
x = x 0 の点における f (x ) の微分は
f ′(x 0 ) =
∆f0 ∆2 f0
∆3 f0
+
−
+
x
x
(
)
(x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )
0
1
h
2h 2
6h 3
∆n f0
+"+
(x 0 − x 1 )"(x 0 − x n −1 ) + "
n !hn
(3.2)
ここで
x 0 − x 1 = −h
(x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 ) = (−h )(−2h ) = 2h 2
!
(x 0 − x 1 )"(x 0 − x n −1 ) = (−1)n −1(n − 1)! h n −1
である．
∴ f ′(x 0 ) =

1
1 2
1 3
n −1 1
∆n f0 + "
∆f0 − ∆ f0 + ∆ f0 − "(−1)
h 
2
3
n

ただし
∆f0 = f1 − f0
∆2 f0 = f2 − 2 f1 + f0
∆3 f0 = f3 − 3 f2 + 3 f1 − f0
∆4 f0 = f4 − 4 f3 + 6 f2 − 4 f1 + f0
!
1
(3.3)
2 項までとると
f ′(x 0 ) ≅
1
(−3 f0 + 4 f1 − f2 )
2h
3 項までとると
f ′(x 0 ) ≅
1
(−11f0 + 18 f1 − 9 f2 + 2 f3 )
6h
高階微分は
f ′′(x 0 ) =

1 2
11
5
137 6
∆ f0 − ∆3 f0 + ∆4 f0 − ∆5 f0 +
∆ f0 − "
2 

h 
12
6
180
(3.4)

1  3
3
7
15
∆ f0 − ∆4 f0 + ∆5 f0 − ∆6 f0 + "
3 

h 
2
4
8
(3.5)

1  4
17
∆ f0 − 2∆5 f0 + ∆6 f0 − "
4 

h 
6
(3.6)
f ′′′(x 0 ) =
f (4)(x 0 ) =
（例１）下の表を用いて f ′(1),
i
xi
fi
0
1.0
8.0
1
1.5
13.75
2
2.0
21.00
3
2.5
29.75
(x 0 = 1) を求めよ．
（解）
1
(−11f0 + 18 f1 − 9 f2 + 2 f3 )
6h
1
=
(−11 × 8.00 + 18 × 13.75 − 9 × 21.00 + 2 × 29.75)
6 × 0.5
= 10.00
f ′(x 0 ) ≅
3.2 補間公式を用いる微分
ラグランジュの補間公式：
n
P (x ) = ∑ f (x k )Lk (x )
Lk (x ) =
k =0
n
m =0
m ≠k
=
x − xm
k − xm
∏x
(3.7)
(x − x 0 )"(x − x k −1 )(x − x k +1 )"(x − x n )
(x k − x 0 )"(x k − x k −1 )(x k − x k +1 )"(x k − x n )
2
n
P ′(x ) = ∑ f (x k )Lk′(x )
(3.8)
k =0
n
P ′′(x ) = ∑ f (x k )Lk′′(x )
(3.9)
k =0
（例２） n = 2 の微分公式を求めよ
（解）
P (x ) = f0
(x − x 1 )(x − x 2 )
(x − x 0 )(x − x 2 )
(x − x 0 )(x − x 1 )
+ f1
+ f2
(x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )
(x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 )
(x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )
2x − x 1 − x 2
2x − x 0 − x 2
2x − x 0 − x 1
+ f1
+ f2
(x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )
(x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 )
(x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )
=−3h
=−2h
=−h
#$$$$$$
$
%
#$$$$$$
$
%
#$$$$$$
$
%
2x 0 − x 1 − x 2
2x 0 − x 0 − x 2
2x 0 − x 0 − x 1
P ′(x 0 ) = f0
+ f1
+ f2
(&$$$
x 0 − x$
)(
x
−
x
)
(
x
−
x
)(
x
−
x
)
(&$$$$
x 2 − x'
x 2 − x$
1
0
2
1
0
1
2
0 )(
1)
' &$$$$
'
&$$$$
' &$$$$
'
&$$$
'
P ′(x ) = f0
=−h
=−2h
=h
=−h
=2h
=h
=−h
=0
=h
#$$$$$$
%
#$$$$$$
$
%
#$$$$$$
%
2x 1 − x 1 − x 2
2x 1 − x 0 − x 2
2x 1 − x 0 − x 1
P ′(x 1 ) = f0
+ f1
+ f2
(&$$$
x 0 − x$
)(
x
−
x
)
(
x
−
x
)(
x
−
x
)
(&$$$$
x 2 − x'
x 2 − x$
1 &$$$$
0
2
1
0 &$$$
1
2
0 )(
1)
'
'
&$$$
$
'
$
'
&$$$
'
=−h
=−2h
=h
=−h
=h
2h
#$$$$$$%
#$$$$$$$
%
#$$$$$$$
%
2x 2 − x 1 − x 2
2x 2 − x 0 − x 2
2x 2 − x 0 − x 1
P ′(x 2 ) = f0
+ f1
+ f2
(&$$$
x 0 − x$
)(
x
−
x
)
(
x
−
x
)(
x
−
x
)
(&$$$$
x 2 − x'
x 2 − x$
1
0
2
1
0
1
2
0 )(
1)
' &$$$$
'
&$$$$
' &$$$$
'
&$$$
'
=h
=−h
=2h
=−2h
=h
= 3h
=−h
=2h
=h
h = x 1 − x 0 = x 2 − x 1 の場合（上式参照）．
P ′(x 0 ) = f0
−3
2
−1
1
+ f1 + f2
=
(−3 f0 + 4 f1 − f2 )
2h
h
2h
2h
P ′(x 1 ) = f0
P ′(x 2 ) = f0
−1
1
1
+ f1 ⋅ 0 + f2
=
(−f0 + f2 )
2h
2h
2h
1
−2
3
1
+ f1
+ f2
=
( f0 − 4 f1 + 3 f2 )
2h
h
2h
2h
［テスト５］
ニュートン法により 2 階微分の 4 点公式を求めよ．そして（例１）の表を用いて f ′′(1) を計算せよ．
［答］
f ′′(x 0 ) ≅
1
(2 f0 − 5 f1 + 4 f2 − f3 )
h2
f ′′(1) ≅ 6
3